Аксиома Паша - NiNa.Az

Аксиома Па́ша — одна из аксиом порядка в системе аксиом Гильберта евклидовой геометрии; является аксиомой абсолютной геометрии. В других системах аксиом является теоремой.

Аксиома Паша

Аксиома впервые сформулирована Морицем Пашем. В его книге «Лекции по новой геометрии», опубликованной в Лейпциге в 1882 году, были впервые сформулированы аксиомы порядка, в дальнейшем существенно переработанные и упрощённые Д. Гильбертом.

Формулировка

Формулировка аксиомы использует понятие «лежать внутри отрезка», причём отрезок здесь рассматривается как система двух различных точек ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, принадлежащих одной прямой; точки, лежащие «между» точками ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, называются точками отрезка (или внутренними точками отрезка). Понятие «между» (лежать между) описывается группой аксиом порядка, куда входит и аксиома Паша, которая формулируется следующим образом:

• Пусть ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — три точки, не лежащие на одной прямой, и ${\displaystyle a}$ — прямая в плоскости ${\displaystyle (ABC)}$ этих трёх точек, не проходящая ни через одну из точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$; если при этом прямая проходит через одну из точек отрезка ${\displaystyle AB}$, то она должна пройти через одну из точек отрезка ${\displaystyle AC}$ или через одну из точек отрезка ${\displaystyle BC}$.

Замечания

• Аксиому можно сформулировать и для трёх различных точек, принадлежащих одной прямой (коллинеарных). Тогда они образуют также три отрезка и если некоторая прямая пересечёт один отрезок, то она пересечёт ещё один.

• С помощью других гильбертовых аксиом порядка можно доказать, что прямая ${\displaystyle a}$ не может пересечь оба отрезка ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BC}$.

См. также

• Теорема Паша
• Аксиомы Пеано

Примечания

1. Pasch M., Vorlesungen über neuere Geometrie, Lpz., 1882

Литература

• Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., Л., «Сеятель», 1923.