Выпуклый слой - NiNa.Az

У этого термина существуют и другие значения, см. Выпуклый слой (значения).

Не следует путать с выпуклым слоем вычислительной геометрии и слоем расслоения, который может быть и выпуклым.

Вы́пуклый слой — понятие комплексного анализа, раздела математики, точечное множество

Сферический слой с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$ и внешним радиусом ${\displaystyle R}$. Справа: две половины слоя

${\displaystyle C=A\setminus {\bar {B}}}$

где ${\displaystyle B\subset A}$ — выпуклые ограниченные области, причём замыкание ${\displaystyle {\bar {B}}\subset A}$.

В случае, когда обе области ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — концентрические сферы, то получаем частный случай выпуклого слоя — сферический слой.

Определение выпуклого слоя

Выпуклый слой — точечное множество ${\displaystyle C}$ комплексно-вещественного пространства

${\displaystyle \mathbb {E} ^{2m+n}=\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}=}$

${\displaystyle =\{z_{1},\,\dots ,\,z_{m},\,u_{1},\,\dots ,\,u_{n}\},\,}$

${\displaystyle m,\,n\geqslant 0,\quad 2m+n\geqslant 2,}$

такое, что

${\displaystyle C=A\setminus {\bar {B}}}$,

где ${\displaystyle B\subset A\subset \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}}$ — выпуклые ограниченные области, причём замыкание ${\displaystyle {\bar {B}}\subset A}$.

В случае, когда обе области ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — концентрические сферы, то получаем частный случай выпуклого слоя — сферический слой.

Структура выпуклого слоя

Представим структуру выпуклого слоя ${\displaystyle C=A\setminus {\bar {B}}}$ в следующем комплексно-вещественном пространстве:

${\displaystyle \mathbb {E} ^{n+2}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}=\{z,\,u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{n}\},\,n\geqslant 1.}$

1. Вещественные проекции. Вещественная структура выпуклого слоя выглядит следующим образом. Спроектируем определённые выше точечные множества ${\displaystyle A,\,B,\,C\subset \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}}$, на вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\{u_{1},\,u_{2},\,\dots ,\,u_{n}\},\,n\geqslant 1.}$ Получим следующие проекции:

• проекция выпуклой области ${\displaystyle A}$ — выпуклая область ${\displaystyle U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$;
• проекция выпуклой области ${\displaystyle B}$ — выпуклая подобласть ${\displaystyle U_{B}\subset U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$;
• проекция области ${\displaystyle C}$ — область ${\displaystyle U_{C}\subset U_{A}\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

В этом случае выпуклый слой есть снова разность двух точечных множеств ${\displaystyle U_{C}=U_{A}\setminus {\overline {U_{B}}}}$, ${\displaystyle {\overline {U_{B}}}\subset U_{A}}$, а при ${\displaystyle n=1}$ множество ${\displaystyle U_{C}}$ — два непересекающихся интервала оси ${\displaystyle u}$.

2. Комплексные слои. Комплексная структура выпуклого слоя в комплексно-вещественном пространстве выглядит следующим образом. Для этого представим точечные множества ${\displaystyle A,\,B\subset \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}}$ в виде множества срезов-«слоёв»:

${\displaystyle A=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}\colon \,u\in U_{A},\,z\in D_{A}(u)\},}$

${\displaystyle C=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ^{n}\colon \,u\in U_{A},\,z\in D_{C}(u)\}.}$

В этом случае достаточно очевидно, что если ${\displaystyle u\in U_{A}\setminus U_{\bar {B}}}$, то оба множества ${\displaystyle D_{A}(u)}$ и ${\displaystyle D_{C}(u)}$ суть двумерные выпуклые области, а если ${\displaystyle u\in U_{\bar {B}}}$, то множество ${\displaystyle D_{C}(u)}$ образуется из множества ${\displaystyle D_{A}(u)}$ путём исключения одной точки или некоторой замкнутой кривой со своей внутренностью.

Сферический слой

Основная статья: Сферический слой

Не следует путать с шаровым слоем и полноторием.

Сферический слой с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$ и внешним радиусом ${\displaystyle R}$. Справа: две половины слоя

Сферический слой — область, заключённая между двумя концентрическими сферами различных радиусов.

Устаревшие синонимы: сферическая оболочка; шаровой слой.

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой (англ. thin-walled spherical shell).

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слоя.

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество ${\displaystyle S}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров с центром в точке ${\displaystyle a}$, где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар:

${\displaystyle S=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R}$,

или сразу как следующее обобщённое кольцо с центром в начале координат:

${\displaystyle S=\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon \,r<|z|<R,\,0<r<R\}}$.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} (z,\,u)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой:

${\displaystyle S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon \,r^{2}<|z|^{2}+u^{2}<R^{2}\}.}$

Слой бикруга

Основная статья: Поликруг

Слой бикруга — область, заключённая между двумя концентрическими границами различных бикругов.

Слой бикруга — точечное множество ${\displaystyle \Omega }$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}(z)}$, который можно определить как следующую разность двух концентрических бикругов с центром в начале координат, где вычитаемое — замыкание бикруга:

${\displaystyle \Omega \equiv \Delta ^{2}(0,\,R)\setminus {\bar {\Delta }}^{2}(0,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R.}$

Примечания

1. Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи
2. Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, § 3. Выпуклые области, с. 98.
3. Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables, 2011, 1.9 Preview: analytic continuation…, p. 18.
4. Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, § 3. Выпуклые области, с. 98—99.
5. Weisstein Eric W. Spherical Shell, 2025.
6. Яковлев И. В. Сферический слой, 2025.
7. Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм, 1977, 17, с. 7; 63, с. 14.
8. Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Мыльные пузыри, с. 91.
9. Aslamazov L. G., Varlamov A. A. The wonders of physics, 2001, 10.1 Soap-bubbles, p. 78.
10. Асламазов Л. Г., Варламов А. А. Удивительная физика, 1987, Мыльные пузыри, с. 62.
11. Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91.
12. Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм, 2003, Пример 1.9, с. 56.
13. Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 2001, 0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 8.

Источники

• , ^[англ.]. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)
• Бохнер С., ^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
• Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм. 4-е изд., перераб. и доп. Под ред. И. А. Яковлева. М.: «Наука», 1977. 272 с.: ил.
• Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. Ун-т, 2003. 267 с.: ил.
• Яковлев И. В. Сферический слой // Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике Архивная копия от 5 июля 2024 на Wayback Machine
• , ^[англ.] The wonders of physics. Scientific Editor A. A. Abrikosov Jr. Translators A. A. Abrikosov Jr & D. Znamenski. Singapore · New Jersey · London · Hong Kong: World Scientific, 2001. [Асламазов Л. Г., Варламов А. А.. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)]
• Salomon Bochner, ^[англ.] Several Complex Variables. Princeton: Princeton University Press, 1948. 216 p. [Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных. Принстон: Издательство Принстонского университета, 1948.]
• ^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
• ^[англ.]. Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. Providence, Rhode Island: ^[англ.], 1951. 564 p. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001.
• Weisstein Eric W. Spherical Shell // Wolfram MathWorld Архивная копия от 22 января 2025 на Wayback Machine