Звезда Ходжа - NiNa.Az

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства q-векторов в пространство (n − q)-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами q-форм и q-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n − q.

${\displaystyle *\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\to \Lambda ^{n-q}(T^{*}M)}$

Основное тождество для звезды Ходжа:

${\displaystyle \varphi \wedge (*\psi )=\langle \varphi ,\psi \rangle _{q}dV}$,

где ${\displaystyle dV}$ - форма объёма, ${\displaystyle \wedge }$ - внешнее произведение дифференциальных форм, ${\displaystyle \varphi ,\psi \in \Lambda ^{q}(T^{*}M)}$ - две дифференциальные формы одинаковой степени и ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{q}}$ - евклидово (или лоренцево) скалярное произведение на ${\displaystyle \Lambda ^{q}(T^{*}M)}$, порождённое римановой (лоренцевой) метрикой ${\displaystyle ds^{2}}$на касательном пространстве ${\displaystyle TM}$.

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

${\displaystyle \Omega =f(x)dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}}$

${\displaystyle \Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}=f(x)\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$

где ${\displaystyle f(x):M\to \mathbb {R} }$ — неотрицательный скаляр на многообразии ${\displaystyle M}$, а ${\displaystyle \varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$ — полностью антисимметричный символ. ${\displaystyle \varepsilon _{12\ldots n}=+1}$. Даже в отсутствие метрики, если ${\displaystyle f(x)>0}$, можно определить контравариантные компоненты формы объёма.

${\displaystyle {\check {\Omega }}={\frac {1}{f(x)}}{\frac {\partial }{\partial {x^{1}}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{x^{n}}}}}$

${\displaystyle {\check {\Omega }}^{m_{1}\ldots m_{n}}=f^{-1}(x)\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}}$

здесь антисимметричный символ ${\displaystyle \varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}}$ совпадает ${\displaystyle \varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$.

В присутствии метрики ${\displaystyle \Omega }$ с поднятыми индексами может отличаться от ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$ на знак: ${\displaystyle \Omega =\sigma {\check {\Omega }}}$. Здесь и далее ${\displaystyle \sigma =\operatorname {sgn} \det(g_{mk})}$

Введём операцию антисимметризации:

${\displaystyle A_{[m_{1}\ldots m_{q}]}={\frac {1}{q!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}(-1)^{\operatorname {sgn}(m_{1}\ldots m_{q})}A_{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}}$. Суммирование ведётся по всем перестановкам ${\displaystyle \sigma (m_{1}\ldots m_{q})}$ индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: ${\displaystyle A_{k[lm]}={\frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})}$; ${\displaystyle A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})}$.

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

${\displaystyle A^{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots }{}_{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ldots }={\frac {1}{k!}}A^{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }{}_{C\ldots K_{1}\ldots K_{k}D\ldots }}$.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки ${\displaystyle \lfloor \;\rfloor }$ только по упорядоченным наборам не деля на ${\displaystyle k!}$, это связано с тем, что разные наборы индексов ${\displaystyle K_{1}\ldots K_{k}}$, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

${\displaystyle (A,B)_{m_{k+1}\ldots m_{q}}^{(k)}{}^{n_{k+1}\ldots n_{p}}=A_{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor m_{k+1}\ldots m_{q}}B^{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor n_{k+1}\ldots n_{p}}}$

${\displaystyle (A,B)_{m_{1}\ldots m_{q-k}}^{\underline {(k)}}{}^{n_{1}\ldots n_{p-k}}=A_{m_{1}\ldots m_{q-k}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }B^{n_{1}\ldots n_{p-k}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}$

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма ${\displaystyle \Omega }$ и поливектор ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$, можно ввести операцию ${\displaystyle *}$, превращающую поливектор ${\displaystyle B}$ степени ${\displaystyle p}$ в дифференциальную форму ${\displaystyle *B}$ степени ${\displaystyle n-p}$, и обратную операцию ${\displaystyle *^{-1}}$, превращающую форму ${\displaystyle A}$ степени ${\displaystyle q}$ в поливектор ${\displaystyle *^{-1}A}$ степени ${\displaystyle n-q}$

${\displaystyle *B=(\Omega ,B)^{(p)}}$

${\displaystyle *^{-1}A=(A,{\check {\Omega }})^{\underline {(q)}}}$

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

${\displaystyle (*B)_{m_{q+1}\ldots m_{n}}={\frac {f(x)}{q!}}B^{m_{1}\ldots m_{q}}\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$

Поскольку ${\displaystyle *^{-1}*B=B}$ и ${\displaystyle **^{-1}A=A}$, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов ${\displaystyle *}$ и ${\displaystyle *^{-1}}$ введём пару операторов: ${\displaystyle {\check {*}}}$ и ${\displaystyle {\check {*}}^{-1}}$, отличающихся от них знаком.

${\displaystyle {\check {*}}B=(\Omega ,B)^{\underline {(p)}}}$

${\displaystyle {\check {*}}^{-1}A=(A,{\check {\Omega }})^{(q)}}$

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на n-мерном многообразии M задана метрика ${\displaystyle ds^{2}=g_{mk}dx^{m}dx^{k}}$. Обозначим ${\displaystyle g=\det(g_{mk})}$.

Элементом объёма или формой объёма, порождённой метрикой ${\displaystyle ds^{2}}$, называется дифференциальная n-форма

${\displaystyle \Omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}}$.

В компонентах:

${\displaystyle \Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$

${\displaystyle \Omega ^{m_{1}\ldots m_{n}}={\frac {\sqrt {|g|}}{g}}\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}={\frac {\operatorname {sgn}(g)}{\sqrt {|g|}}}\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}}$

Наличие метрики позволяет устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

${\displaystyle A_{m_{1}\ldots m_{n}}=A^{l_{1}\ldots l_{n}}g_{m_{1}l_{1}}\cdots g_{m_{n}l_{n}}}$

Поэтому можно установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами.

По определению, тензор ${\displaystyle *A}$ задаётся своими компонентами:

${\displaystyle (*A)_{m_{q+1}\ldots m_{n}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}A_{l_{1}\ldots l_{q}}g^{m_{1}l_{1}}\cdots g^{m_{q}l_{q}}}$

Пример

Пусть на плоскости заданы обычные декартовы координаты ${\displaystyle x,y}$, полярные координаты ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\varphi =\arctan(y/x)}$, форма объёма (площади) ${\displaystyle dS=dx\wedge dy=rdr\wedge d\varphi }$ и метрика ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}}$. Тогда:

${\displaystyle *dx=dy}$, так как ${\displaystyle dx\wedge *dx=dx\wedge dy=dS}$;

${\displaystyle *dy=-dx}$, так как ${\displaystyle dy\wedge *dy=dy\wedge (-dx)=-dy\wedge dx=dS}$;

${\displaystyle *dr={\frac {1}{2r}}*(dr^{2})={\frac {1}{2r}}*(dx^{2}+dy^{2})={\frac {x}{r}}(*dx)+{\frac {y}{r}}(*dy)={\frac {xdy-ydx}{r}}=rd\varphi }$;

${\displaystyle *d\varphi =*d\arctan(y/x)=*\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\right)=-{\frac {y}{r^{2}}}(*dx)+{\frac {x}{r^{2}}}(*dy)=-{\frac {ydy+xdx}{r^{2}}}=-{\frac {dr^{2}}{2r^{2}}}=-{\frac {dr}{r}}}$.

Дифференциальные операторы, использующие звезду Ходжа

Дивергенция

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

${\displaystyle \delta =*^{-1}d*}$

${\displaystyle (\delta A)^{m_{1}\ldots m_{q-1}}={\frac {1}{f(x)}}\partial _{m_{q}}(f(x)A^{m_{1}\ldots m_{q}})}$

В присутствие метрики оператор дивергенции ${\displaystyle \delta }$ выражается через оператор ковариантной производной ${\displaystyle \nabla }$, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

${\displaystyle (\delta A)^{m_{1}\ldots m_{q-1}}=(\nabla ,A)^{{\underline {(1)}}m_{1}\ldots m_{q-1}}=\nabla _{m_{q}}A^{M_{1}\ldots m_{q}}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{m_{q}}({\sqrt {|g|}}A^{m_{1}\ldots m_{q}})}$

Иногда операцию ${\displaystyle d}$ (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию ${\displaystyle \delta }$ — дивергенцией. Для 1-формы операция ${\displaystyle \delta }$ задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан

Лапласиан ${\displaystyle \Delta }$ от ${\displaystyle q}$-формы ${\displaystyle A}$ определяется формулой:

${\displaystyle \Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A}$

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа — Бельтрами:

${\displaystyle \Delta \varphi =\nabla _{m}\nabla ^{m}\varphi ={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{m}{\sqrt {|g|}}g^{mn}\partial _{n}\varphi }$

Для скаляра ${\displaystyle \Delta =\nabla _{m}\nabla ^{m}}$. Если ${\displaystyle q>0}$, то по формуле Бохнера для произвольной метрики в ${\displaystyle \Delta }$ появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае ${\displaystyle q=1}$

${\displaystyle (\Delta A)_{k}=\nabla _{m}\nabla ^{m}A_{k}-R_{k}{}^{m}A_{m}}$

где ${\displaystyle R_{k}^{m}}$ — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Источники

• Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html