Изогональное сопряжение - NiNa.Az

Изогона́льное сопряже́ние — геометрическое преобразование, получаемое отражением прямых, соединяющих исходные точки с вершинами заданного треугольника, относительно биссектрис углов треугольника.

Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P^{*}}$ изогонально сопряжены

Преобразование над точками внутри треугольника

Определение

Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P^{*}}$ называются изогонально сопряжёнными (устаревшие названия — изогональными, обратными) в треугольнике ${\displaystyle \triangle ABC}$, если ${\displaystyle \angle ABP=\angle CBP^{*}}$, ${\displaystyle \angle BAP=\angle CAP^{*}}$, ${\displaystyle \angle BCP=\angle ACP^{*}}$. Корректность данного определения можно доказать через теорему Чевы в синусной форме, существует и чисто геометрическое доказательство корректности этого определения. Изогональное сопряжение — преобразование, ставящее точке в соответствие изогонально сопряжённую ей. На всей плоскости за исключением прямых, содержащих стороны треугольника, изогональное сопряжение является взаимно-однозначным отображением.

Свойства

• Изогональное сопряжение оставляет на месте только центры вписанной и вневписанных окружностей.
• Точка, изогонально сопряжённая точке на описанной окружности — бесконечно удалённая. Направление, задаваемое этой точкой, перпендикулярно прямой Симсона исходной точки.
• Если точки ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$, ${\displaystyle P_{c}}$ симметричны точке ${\displaystyle P}$ относительно сторон треугольника, то центр описанной окружности треугольника ${\displaystyle P_{a}P_{b}P_{c}}$ изогонально сопряжён точке ${\displaystyle P}$.
• Если в треугольник вписан эллипс, то его фокусы изогонально сопряжены.

• Проекции двух изогонально сопряжённых точек на стороны лежат на одной окружности (верно и обратное) . Центр этой окружности — середина отрезка между сопряжёнными точками. Частный случай — окружность девяти точек.
• Последнее означает, что подерные окружности двух изогонально сопряженных точек совпадают. В частности, подерной окружностью ортоцентра и центра описанной окружности является окружность Эйлера. Подерной или педальной окружностью называют описанную окружность подерного треугольника.
• Две точки треугольника изогонально сопряжены тогда и только тогда, когда произведения трёх их расстояний до трёх сторон треугольника равны .

Пары изогонально сопряженных линий

• Образ прямой при изогональном сопряжении — коника, описанная около треугольника. В частности, изогонально сопряжены бесконечно удалённая прямая и описанная окружность, прямая Эйлера и гипербола Енжабека, ось Брокара и гипербола Киперта, линия центров вписанной и описанной окружности и гипербола Фейербаха.
• Если коника ${\displaystyle \alpha }$ изогонально сопряжена прямой ${\displaystyle l}$, то трилинейные поляры всех точек на ${\displaystyle \alpha }$ будут проходить через точку, изогонально сопряжённую трилинейному полюсу ${\displaystyle l}$.
• Некоторые известные кубики, например, кубика Томпсона (Thompson cubic), кубика Дарбу (Darboux cubic), кубика Нойберга (Neuberg cubic) изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Пары изогонально сопряжённых точек

Ортоцентр ${\displaystyle H}$ и центр описанной окружности ${\displaystyle O}$ изогонально сопряжены.

• Центр описанной окружности и ортоцентр (см. рисунок).
• Точка пересечения медиан и точка Лемуана (точка пересечения симедиан).
• Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
• Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Две точки Брока́ра
• Точка Аполлония и точка Торричелли.
• Центр вписанной окружности (инцентр) изогонально сопряжён сам себе.

Координатная запись

В барицентрических координатах изогональное сопряжение записывается как:

${\displaystyle (x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac {c^{2}}{z}}\right)}$,

где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — длины сторон треугольника. В трилинейных координатах его запись имеет форму:

${\displaystyle (x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right)}$,

поэтому они удобны при работе с изогональным сопряжением. В других координатах запись изогонального сопряжения более громоздка.

Вариации и обобщения

• Аналогично можно определить изогональное сопряжение относительно многоугольника. Фокусы эллипсов, вписанных в многоугольник, также будут изогонально сопряжены. Однако не для всех точек изогонально сопряжённая точка будет определена: так, в четырёхугольнике геометрическое место точек, для которых изогональное сопряжение определено, есть некоторая кривая третьего порядка; для пятиугольника будет существовать лишь одна пара изогонально сопряжённых точек (фокусы единственного вписанного в него эллипса), а в многоугольниках с бо́льшим числом вершин в общем случае изогонально сопряжённых точек не будет.

Можно определить также изогональное сопряжение в тетраэдре, в трилинейных координатах оно будет записываться аналогично плоскому изогональному сопряжению.

• С изогональным сопряжением тесно связано , упоминаемое в статье теорема Понселе.

Следствия

• Из изогонального сопряжения можно вывести теорему Паскаля.

Примечания

1. Д. Ефремов. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902
2. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 97, п. 80.
3. Изогональное сопряжение в тетраэдре и его гранях (недоступная ссылка)

См. также

• Изотомическое сопряжение
• Изоциркулярное преобразование