Интерполяционные формулы - NiNa.Az

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции ${\displaystyle f(x)}$ при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен ${\displaystyle P_{n}(x)}$ степени ${\displaystyle n}$, значения которого в заданных точках ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n}}$ совпадают со значениями ${\displaystyle y_{0},\;y_{1},\ldots ,y_{n}}$ функции ${\displaystyle f}$ в этих точках. Многочлен ${\displaystyle P_{n}(x)}$ определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Основная статья: Интерполяционный многочлен Лагранжа

Функция ${\displaystyle f}$ может быть интерполирована на отрезке ${\displaystyle [x_{0},x_{n}]}$ интерполяционным многочленом ${\displaystyle P_{n}(x)}$, записанным в форме Лагранжа:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},}$

при этом ошибка интерполирования функции ${\displaystyle \ f(x)}$ многочленом ${\displaystyle \ P_{n}(x)}$:

${\displaystyle |f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {\|f^{(n+1)}(x)\|}{(n+1)!}}\cdot \|\Pi _{n}(x)\|,\qquad \Pi _{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n}).}$

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

${\displaystyle \|f^{(n+1)}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|,\qquad \|\Pi _{n}(x)\|=\max _{x\in [x_{0},x_{n}]}|\Pi _{n}(x)|.}$

Интерполяционная формула Ньютона

Основная статья: Интерполяционные формулы Ньютона

Если точки ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n}}$ расположены на равных расстояниях ${\displaystyle (x_{k}=x_{0}+kh)}$, многочлен ${\displaystyle P_{n}(x)}$ можно записать так:

${\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.}$

Здесь ${\displaystyle x_{0}+th=x}$, а ${\displaystyle \Delta ^{k}}$ — конечная разность порядка ${\displaystyle k}$. Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд. Её название указывает на то, что она содержит заданные значения ${\displaystyle f}$, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только справа от ${\displaystyle x_{0}}$. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений ${\displaystyle x}$, близких к ${\displaystyle x_{0}}$. При интерполировании функций для значений ${\displaystyle x}$, близких к ${\displaystyle x_{k}}$, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\right)}$

где ${\displaystyle C_{x}^{m}}$ — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, используя для этого разделённые разности. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой ${\displaystyle k}$-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы, что даёт ей преимущество в плане экономности вычислений.

Интерполяционная формула Стирлинга

Если использовать набор узлов ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}$, где ${\displaystyle k=-n,\;-n+1,\ldots ,-1,\;0,\;1,\ldots ,n}$, то с использованием формулы Ньютона можно получить формулу Стирлинга:

${\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}}\delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.}$

Здесь ${\displaystyle t={\frac {x-x_{0}}{h}}}$, а ${\displaystyle \delta ^{k}}$ — центральная конечная разность порядка ${\displaystyle k}$.

Интерполяционная формула Бесселя

Аналогичным образом можно получить формулу Бесселя, имеющую вид

${\displaystyle P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+{\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(t-n)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(t-n)(t-{\frac {1}{2}})}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/2}.}$

Эта формула особенно удобна для интерполирования при ${\displaystyle t={\frac {1}{2}}}$, так как в этом случае все члены, содержащие конечные разности нечётного порядка, обращаются в ноль. Этот случай соответствует значению ${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {1}{2}}h}$, то есть интерполяции «на середину».

См. также

• Интерполяция
• Интерполяционная формула Гаусса
• Эрмитова интерполяция
• Сплайн

Примечания

1. Березин, Жидков, 1962, с. 85.
2. Березин, Жидков, 1962, с. 91.
3. Березин, Жидков, 1962, с. 119.
4. Березин, Жидков, 1962, с. 115.
5. Березин, Жидков, 1962, с. 107.
6. Березин, Жидков, 1962, с. 127.
7. Березин, Жидков, 1962, с. 129.
8. Березин, Жидков, 1962, с. 130.

Литература

• Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. — 2-е изд., перераб.. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.
• Березин, И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений (рус.). — 2-е изд. — М.: Физматлит, 1962. — Т. I.

Ссылки

• [bse.sci-lib.com/article055748.html Большая советская энциклопедия]