Квантовая наблюдаемая - NiNa.Az

Ква́нтовая наблюда́емая (наблюда́емая ква́нтовой систе́мы, иногда просто наблюда́емая) является линейным самосопряжённым оператором, действующим на сепарабельном (комплексном) гильбертовом пространстве чистых состояний квантовой системы. В интуитивном физическом понимании норма оператора наблюдаемой представляет собой наибольшую абсолютную величину измеряемого числового значения физической величины.

Иногда вместо термина «наблюдаемая» используют «динамическая величина», «физическая величина». Однако температура и время являются физическими величинами, но не являются наблюдаемыми в квантовой механике.

Тот факт, что квантовым наблюдаемым сопоставляются линейные операторы, ставит проблему связи этих математических объектов с экспериментальными данными, которые являются вещественными числами. На опыте измеряются вещественные числовые значения, соответствующие наблюдаемой в заданном состоянии. Важнейшими характеристиками распределения числовых значений на вещественной прямой являются среднее значение ${\displaystyle \langle A\rangle }$ наблюдаемой и дисперсия ${\displaystyle D(A)}$ наблюдаемой.

Обычно постулируют, что возможные числовые значения квантовой наблюдаемой, которые могут быть измерены экспериментально, являются собственными значениями оператора этой наблюдаемой.

Говорят, что наблюдаемая ${\displaystyle A}$ в состоянии ${\displaystyle \rho }$ имеет точное значение, если дисперсия ${\displaystyle A}$ равна нулю ${\displaystyle D(A)=0}$.

Другое определение квантовой наблюдаемой: наблюдаемыми квантовой системы являются самосопряжённые элементы ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры.

Использование структуры ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры позволяет сформулировать классическую механику аналогично квантовой. При этом для некоммутативных ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр, описывающих квантовые наблюдаемые, имеет место теорема Гельфанда — Наймарка: любая ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра может быть реализована алгеброй ограниченных операторов, действующих в некотором гильбертовом пространстве. Для коммутативных ${\displaystyle C^{*}}$-алгебр, описывающих классические наблюдаемые, имеем следующую теорему: всякая коммутативная ${\displaystyle C^{*}}$-алгебра ${\displaystyle M}$ изоморфна алгебре непрерывных функций, заданных на компактном множестве максимальных идеалов алгебры ${\displaystyle M}$.

В квантовой механике часто постулируется следующее утверждение. Каждой паре наблюдаемых ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ соответствует наблюдаемая ${\displaystyle C}$, устанавливающая нижнюю грань одновременной (для одного и того же состояния) измеримости ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, в том смысле, что ${\displaystyle D(A)D(B)\geq \langle C\rangle ^{2}}$, где ${\displaystyle D(A)}$ — дисперсия наблюдаемой, равная ${\displaystyle \langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}$. Это утверждение, называемое принципом неопределённости, выполняется автоматически, если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ являются самосопряжёнными элементами ${\displaystyle C^{*}}$-алгебры. При этом принцип неопределённости принимает свою обычную форму, где ${\displaystyle C=i[A,B]}$.

Понятия квантовой наблюдаемой и квантового состояния являются дополнительными, дуальными. Эта дуальность связана с тем, что в опыте определяются лишь средние значения наблюдаемых, а в это понятие входит и понятие наблюдаемой, и понятие состояния.

Если эволюция квантовой системы во времени полностью характеризуется её гамильтонианом, то уравнением эволюции наблюдаемой является уравнение Гейзенберга. Уравнение Гейзенберга описывает изменение квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы с течением времени.

В классической механике наблюдаемой называется вещественная гладкая функция, определённая на гладком вещественном многообразии, описывающем чистые состояния классической системы.

Между классическими и квантовыми наблюдаемыми существует взаимосвязь. Обычно полагают, что задать процедуру квантования означает установить правило, согласно которому каждой наблюдаемой классической системе, то есть функции на гладком многообразии, ставится в соответствие некоторая квантовая наблюдаемая. В квантовой механике наблюдаемыми считаются операторы в гильбертовом пространстве. В качестве гильбертова пространства обычно выбирают комплексное бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Сама функция, соответствующая данному оператору, при этом называется символом оператора.

См. также

• Полная система коммутирующих наблюдаемых
• Уравнение Гейзенберга
• Уравнение Линдблада
• Теорема Эренфеста

Литература

• Березин Ф. А., Шубин М. А., «Уравнение Шредингера» М.: МГУ, 1983. 392 с.
• Бом Д. «Квантовая механика: основы и приложения» пер с англ. М.: Мир, 1990. — 720 с.
• Брателли У., Робинсон Д. «Операторные алгебры и квантовая статистическая механика» М.: Мир, 1982. — 512 с.
• Джет Неструев «Гладкие многообразия и наблюдаемые» Архивная копия от 20 июля 2011 на Wayback Machine, МЦНМО, Москва, 2000—300 c.
• Фадеев Л. Д., Якубовский О. А. «Лекции по квантовой механике для студентов-математиков» Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. — 200 с.
• Эмх Ж. «Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля» М.: Мир, 1976. 424 с.