Комбинаторная геометрия - NiNa.Az

Запрос «Дискретная геометрия» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Комбинаторная или дискретная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются комбинаторные свойства геометрических объектов и связанные с ними конструкции. В комбинаторной геометрии рассматривают конечные и бесконечные дискретные множества или структуры базовых однотипных геометрических объектов (точек, прямых, окружностей, многоугольников, тел с одинаковым диаметром, целочисленных решёток и т. п.) и ставят вопросы, связанные со свойствами различных геометрических конструкций из этих объектов или на этих структурах. Проблемы комбинаторной геометрии простираются от конкретных «предметно»-комбинаторных вопросов (хотя и не всегда с простыми ответами) — замощения, упаковка кругов на плоскости, формула Пика — до вопросов общих и глубоких, таких как гипотеза Борсука, проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера.

Кубическая гранецентрированная упаковка

История

Хотя многогранники, замощения и упаковка шаров исследовались ещё Кеплером и Коши, современная комбинаторная геометрия начала формироваться в конце XIX века. Одними из первых задач были: плотность упаковки кругов Акселя Туэ, ^[англ.]Штайница, геометрия чисел Минковского и проблема четырёх красок ^[англ.].

Примеры задач

Представление о диапазоне задач комбинаторной геометрии дают следующие примеры.

• Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Ромботришестиугольная упаковка шаров, одна из 11 возможных симметричных упаковок

• Задача о возможных и наиболее плотных упаковках кругов на плоскости и шаров в пространстве. Наиболее плотные упаковки кругов и шаров представляются очевидными. Но полное математическое доказательство для кругов было получено только в 1940 году. Для шаров компьютерное доказательство гипотезы Кеплера появилось спустя 400 лет в 1998 году в работе математика ^[англ.]

Восемь точек в общем положении, для которых нет выпуклого пятиугольника

• Теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках утверждает, что в любом достаточно большом множестве точек в общем положении на плоскости можно найти ${\displaystyle n}$ точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Гипотеза Эрдёша — Секереша о минимальном числе точек, обязательно содержащих выпуклый ${\displaystyle n}$-угольник, на сегодня не доказана. Данная задача является также задачей теории Рамсея.

• Теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть ${\displaystyle S}$ — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства, имеющее объём ${\displaystyle \geq 2^{n}}$. Тогда в ${\displaystyle S}$ найдётся целочисленная точка, отличная от ${\displaystyle O}$. Эта теорема положила начало геометрии чисел.

• Гипотеза Борсука утверждает, что любое тело диаметра ${\displaystyle d}$ в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве можно разбить на ${\displaystyle n+1}$ часть так, что диаметр каждой части будет меньше ${\displaystyle d}$. Эта гипотеза была доказана для размерностей ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 3}$, но опровергнута для пространств большой размерности. По известной сегодня оценке она неверна для пространств размерности 64 и более.

• Задача Данцера — Грюнбаума заключается в поиске конечного множества из как можно большего количества точек в многомерном пространстве, между которыми можно построить только острые углы.
• Задача «никакие три точки не лежат на одной прямой», состоящая в нахождении количества точек, которые можно расположить на решётке ${\displaystyle n\times n}$ так, чтобы никакие три точки не находились на одной прямой.

См. также

• Вычислительная геометрия
• Конечная геометрия
• Геометрия чисел

Примечания

1. Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (2010). A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing. arXiv:1009.4322v1 [math.MG]. {{cite arXiv}}: Неизвестный параметр |accessdate= игнорируется (справка)
2. Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture Архивная копия от 26 декабря 2018 на Wayback Machine

Ссылки

• Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — 1971.
• Фейеш Тот, Ласло. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. — М.: Физматгиз, 1958. — 364 с. — 4500 экз.
• Bezdek, András; Kuperberg, W. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday (англ.). — New York, N.Y: ^[англ.], 2003. — ISBN 0-8247-0968-3.
• Bezdek, Károly. Classical Topics in Discrete Geometry (неопр.). — New York, N.Y: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4.
• Brass, Peter; Moser, William; Pach, János. Research problems in discrete geometry (неопр.). — Berlin: Springer, 2005. — ISBN 0-387-23815-8.
• Pach, János; Agarwal, Pankaj K. Combinatorial geometry (неопр.). — New York: Wiley-Interscience, 1995. — ISBN 0-471-58890-3.
• Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph. Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition (англ.). — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. — ISBN 1-58488-301-4.
• Gruber, Peter M. Convex and Discrete Geometry. — Berlin: Springer, 2007. — ISBN 3-540-71132-5.
• Matoušek, Jiří. Lectures on discrete geometry. — Berlin: Springer, 2002. — ISBN 0-387-95374-4.
• Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Excursions into Combinatorial Geometry (неопр.). — Springer, 1997. — ISBN 3-540-61341-2.