Линейчатая поверхность - NiNa.Az

Линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой.

Если ${\displaystyle p(u)}$ ― радиус-вектор направляющей, a ${\displaystyle m=m(u)}$ ― единичный вектор образующей, проходящей через ${\displaystyle p(u)}$, то радиус-вектор линейчатой поверхности есть

${\displaystyle r=p(u)+v\cdot m(u),}$

где ${\displaystyle v}$ ― координата точки на образующей.

Примеры

• Линейчатый геликоид
• Линейчатый гиперболоид
• Гиперболический параболоид
• Цилиндр, гиперболоиды и конус как линейчатые поверхности

Свойства

• Линейчатая поверхность характеризуется тем, что её асимптотическая сеть ― полугеодезическая.
• Гауссова кривизна линейчатой поверхности ${\displaystyle K\leq 0}$.
• Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.
• Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность ${\displaystyle F}$, не являющаяся развёртывающейся, изгибается в линейчатую поверхность ${\displaystyle F'}$, то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.
• Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.
• Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, может быть вырождающейся в цилиндр, конус или плоскость.
• Существуют примеры гладких линейчатых поверхностей, не допускающих гладких параметризаций вида

  ${\displaystyle r(u,v)=p(u)+v\cdot m(u).}$

Типы

• Поверхность Каталана — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны одной плоскости.
• Цилиндрическая поверхность — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны.
• Коноид — линейчатая поверхность, у которой образующие пересекают фиксированную прямую.

В архитектуре

• Синусоидальная линейчатая крыша, Храм Святого Семейства (Барселона)
• ^[англ.]
• Башня в Цехануве
• Башня Кобе.
• Первая Шуховская башня, 1896 Нижний Новгород.
• Шуховская башня в Москве.
• лестница в Торраццо Кремоны.
• Параболическая крыша Варшава.
• Коническая шапка.
• Ротонда Св. Николая в Село, Словения

Вариации и обобщения

Поверхности, образованные движением геодезической в метрическом пространстве также называются линейчатыми поверхностями. Классический результат Александрa Даниловичa Александровa утверждает, что линейчатая поверхность в CAT(0) пространстве с индуцированной внутренней метрикой является CAT(0) пространством.

Примечания

1. А. Д. Александров, Линейчатые поверхности в метрических пространствах Архивная копия от 22 апреля 2021 на Wayback Machine, Вестник Ленинградского университета №1, 1957, с. 5—26

Литература

• Линейчатые поверхности // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.