Многочлены Лежандра - NiNa.Az

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1]}$ в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ${\displaystyle \{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Многочлены Лежандра
Общая информация
Формула	${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}}$
Скалярное произведение	${\displaystyle (f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx}}$
Область определения	${\displaystyle [-1,\;1]}$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0}$
Норма	${\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}}$
Названы в честь	Лежандр, Адриен Мари

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0,}$

(1)

где ${\displaystyle z}$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых ${\displaystyle n}$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени ${\displaystyle n}$ можно представить через формулу Родрига в виде

${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}.}$

Часто вместо ${\displaystyle z}$ записывают косинус полярного угла:

${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.}$

Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,}$

(2)

где ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при ${\displaystyle |z|<1}$ (в частности, при действительных ${\displaystyle z}$) или когда действительная часть числа ${\displaystyle z}$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида ${\displaystyle w=(z^{2}-1)^{\mu /2}}$ в (2) даёт , решение которого в области ${\displaystyle |1-z|<2}$ принимает вид

${\displaystyle w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\frac {z}{2}}\right),}$

где ${\displaystyle F}$ — гипергеометрическая функция. Подстановка ${\displaystyle w=z^{2}}$ в (2) приводит к решению вида

${\displaystyle w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)}}z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu /2}F\left({\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+1,\;{\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+{\frac {1}{2}};\;\nu +{\frac {3}{2}};\;z^{-2}\right),}$

определённым на ${\displaystyle |z|>1}$. Функции ${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)}$ и ${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)}$ называют функциями Лежандра первого и второго рода.

Справедливы соотношения

${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{-\nu -1}^{\mu }(z)}$

и

${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{-\nu -1}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{i\mu \pi }\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).}$

Выражение через суммы

Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.}$

Рекуррентная формула

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при ${\displaystyle n\geqslant 1}$):

${\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x),}$

(3)

причём первые две функции имеют вид

${\displaystyle P_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x.}$

Производная полинома Лежандра

Вычисляется по формуле

${\displaystyle P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].}$

(4)

Корни полинома Лежандра

Вычисляются итеративно по методу Ньютона:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P'_{n}(x_{i}^{(k)})}},}$

причём начальное приближение для ${\displaystyle i}$-го корня (${\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$) берётся по формуле

${\displaystyle x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2}}.}$

Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями

Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

${\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}}$   для   ${\displaystyle |t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,}$

${\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){\frac {1}{t^{n+1}}}}$   для   ${\displaystyle |t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.}$

Следовательно,

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots \right].}$

Присоединённые многочлены Лежандра

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

${\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),}$

которую также можно представить в виде

${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).}$

При ${\displaystyle m=0}$ функция ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ совпадает с ${\displaystyle P_{n}}$.

Нормировка по правилу Шмидта

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом:

${\displaystyle SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),}$

${\displaystyle SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(n-m)!}{(n+m)!}}\right)^{1/2}P_{n}^{m}(x).}$

Сдвинутые многочлены Лежандра

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)}$, где сдвигающая функция ${\displaystyle x\mapsto 2x-1}$ (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов ${\displaystyle [-1,\;1]}$ на интервал ${\displaystyle [0,\;1]}$, в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$:

${\displaystyle \int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}.}$

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.}$

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является

${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].}$

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n	${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle 2x-1}$
2	${\displaystyle 6x^{2}-6x+1}$
3	${\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
4	${\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$

Матрица функции многочлена Лежандра

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&12&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&0&20&\vdots &0&\vdots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots &\dots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &k(k+1)&\dots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &0&\dots &n(n+1)\\\end{pmatrix}}}$

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны ${\displaystyle k(k+1)}$, где ${\displaystyle k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\}}$.

Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра

Первые многочлены Лежандра в явном виде:

${\displaystyle P_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle P_{1}(x)=x,}$

${\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),}$

${\displaystyle P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),}$

${\displaystyle P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),}$

${\displaystyle P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),}$

${\displaystyle P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),}$

${\displaystyle P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),}$

${\displaystyle P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35),}$

${\displaystyle P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x^{3}+315x),}$

${\displaystyle P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30\,030x^{4}+3465x^{2}-63),}$

${\displaystyle P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90\,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),}$

${\displaystyle P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),}$

${\displaystyle P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849\,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),}$

${\displaystyle P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309\,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}-429),}$

${\displaystyle P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702\,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{3}-6435x),}$

${\displaystyle P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}[phone]x^{12}-1487285800x^{10}[phone]x^{8}-162954792x^{6}[phone]x^{4}-875160x^{2}+6435),}$

${\displaystyle P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4\,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\,888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).}$

Поскольку ${\displaystyle P_{n}(1)=1}$, то

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n}x^{n}}{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.}$

Свойства

• Если ${\displaystyle n\neq 0}$, то ${\displaystyle \forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.}$
• Для ${\displaystyle n\neq 0}$ степень ${\displaystyle P_{n}}$ равна ${\displaystyle n}$.
• Сумма коэффициентов многочлена Лежандра ${\displaystyle P_{n}(x)}$ равна 1.
• Уравнение ${\displaystyle P_{n}(x)=0}$ имеет ровно ${\displaystyle n}$ различных корней на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1].}$
• Пусть ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n}}$. Тогда

  ${\displaystyle U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,}$

  ${\displaystyle (x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.}$

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac {m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$

При ${\displaystyle m=0}$ уравнение принимает вид

${\displaystyle P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).}$

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.}$

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1]}$:

  ${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{kl},}$

где ${\displaystyle \delta _{kl}}$ — символ Кронекера.

• Для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ норма ${\displaystyle P_{n}}$ равна

  ${\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.}$

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой ${\displaystyle P_{n}}$ следующим соотношением:

  ${\displaystyle {\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}P_{n}(x).}$

• При каждом ${\displaystyle m>0}$ система присоединённых функций Лежандра ${\displaystyle P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots }$ полна в ${\displaystyle L_{2}(-1,\;1)}$.
• В зависимости от ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

  ${\displaystyle P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{m+n}P_{n}^{m}(x).}$

  ${\displaystyle P_{2n}}$ — чётная функция,

  ${\displaystyle P_{2n+1}}$ — нечётная функция.

• ${\displaystyle P_{n}(1)=1.}$
• ${\displaystyle P_{n}(-1)=(-1)^{n}.}$
• ${\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}}$, поскольку ${\displaystyle \forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0}$, а ${\displaystyle 0^{2n-2n}=1}$.
• Для ${\displaystyle n\neq 0}$ выполняется ${\displaystyle P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}}$.
• ${\displaystyle \forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt {\frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.}$

Ряды многочленов Лежандра

См. также: Сумма ряда

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция ${\displaystyle f}$ является функцией со свойством

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|}$, где ${\displaystyle L>0}$.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть ${\displaystyle \varepsilon (I)}$ — пространство непрерывных отображений на отрезке ${\displaystyle I=[-1,\;1]}$, ${\displaystyle f\in \varepsilon (I)}$, и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Пусть

${\displaystyle c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,}$

тогда ${\displaystyle c_{n}(f)}$ удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.}$

Пусть ${\displaystyle S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}}$ и ${\displaystyle S_{n}f}$ удовлетворяет следующим условиям:

1. ${\displaystyle \forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\,dy}$, где ${\displaystyle K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{n+1}(y)P_{n}(x)}{x-y}};}$
2. ${\displaystyle S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y)-f(x){\big )}\,dy;}$
3. ${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).}$

Липшицеву функцию ${\displaystyle f}$ можно записать следующим образом:

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.}$

Разложение голоморфной функции

Всякая функция ${\displaystyle f}$, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).}$

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{1}<\pi }$, ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \varphi }$ — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:

${\displaystyle P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,}$

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

${\displaystyle P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi .}$

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как

${\displaystyle Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi }$

при условиях ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{1}<\pi /2}$, ${\displaystyle 0\leqslant \psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}<\pi }$, ${\displaystyle \varphi }$.

Функции Лежандра

Основная статья: Сферические функции

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра ${\displaystyle P_{n,\;m}(x)}$) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах ${\displaystyle r,\;\theta ,\;\varphi }$) вида (с точностью до константы)

${\displaystyle r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi }$ и ${\displaystyle r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,}$

где ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде ${\displaystyle r^{n}Y_{nm}}$, где ${\displaystyle Y_{nm}}$ — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Примечания

1. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039.
2. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127.
3. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140.
4. Цимринг, 1988, с. 196.
5. Цимринг, 1988, с. 197.
6. John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave. — Edition 4 for Octave version 4.4.1. — 2018. — С. 530—531. Архивировано 19 февраля 2018 года.
7. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027.
8. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028.

Литература

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
• Цимринг Ш. Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

Ссылки

• Legendre Polynomials — University of Rochester, 2010.