Мозаика Пенроуза
Мозаика Пенроуза (плитки Пенроуза) — общее название трёх особых типов непериодического разбиения плоскости; названы по имени английского математика Роджера Пенроуза, исследовавшего их в 1970-е годы.
Все три типа, как и любые апериодические мозаики, обладают следующими свойствами:
- непериодичность — отсутствие трансляционной симметрии,
- повторяемость (также называемая самоподобием, что, однако, не связано с одноимённым свойством фракталов) — любой сколь угодно большой фрагмент мозаики Пенроуза встречается в мозаике бесконечное число раз, хоть и через неравные расстояния,
- квазикристалличность — при дифракции на мозаике, как на физической структуре, дифракционная картина показывает наличие дальнего порядка и симметрии пятого порядка.
История
Периодические и апериодические замощения
Замощение — это покрытие плоскости плитками без пропусков и наложения плиток друг на друга. Плитки обычно могут иметь конечное число различных форм, называемых . Говорят, что набор протоплиток допускает замощение, если существует замощение плоскости плитками, конгруэнтными протоплиткам набора.
Замощение называется периодическим, если существует двухпараметрическое семейство параллельных переносов, каждый из которых совмещает его с собой. В противном случае замощение называется непериодическим. Наиболее известные замощения (например, замощение квадратами или треугольниками) являются периодическими.
Набор протоплиток называется апериодическим, если он допускает замощение плоскости, но любое замощение данными плитками является непериодическим. Замощение плоскости плитками из апериодического набора также само называется апериодическим.
Ранние апериодические замощения
В 1960-е годы логик Хао Ван рассмотрел проблему замощения плоскости квадратами с раскрашенными рёбрами (сейчас известными как плитки Вана): можно ли замостить плоскость такими квадратами без поворотов и отражений так, чтобы квадраты соприкасались рёбрами одинакового цвета.
Ван заметил, что если эта проблема алгоритмически неразрешима, то существует апериодический набор плиток Вана. В то время это считалось маловероятным, поэтому Ван предположил разрешимость проблемы замощения.
Однако студент Вана показал, что проблема замощения алгоритмически неразрешима (то есть гипотеза Вана была неверна). Он также построил апериодический набор плиток Вана, состоящий из 20 426 плиток. В дальнейшем были найдены апериодические наборы из меньшего числа плиток. На настоящий момент минимальным является набор из 13 плиток, найденный в 1996 году.
На основе результатов Бергера Рафаэль Робинсон получил апериодический набор, состоящий из всего шести протоплиток (вращения и отражения уже допускаются).
Разработка мозаик Пенроуза
Первый тип замощения Пенроуза (P1) также состоит из шести протоплиток, но они основаны не на квадрате, а на правильном пятиугольнике. Основываясь на идеях, высказанных Иоганном Кеплером в труде Harmonices Mundi, он сумел найти формы плиток и правила сочетаний, которые гарантировали апериодичность набора. Мозаику P1 можно рассматривать как расширение «фигуры Aa» — изображённой Кеплером конечной фигуры, составленной из правильных пятиугольников, пятиконечных звёзд, десятиугольников и некоторых других фигур.
Впоследствии Пенроуз сумел сократить количество протоплиток до двух, получив ещё два типа мозаики Пенроуза: из дельтоидов (P2) и из ромбов (P3). Мозаика Пенроуза из ромбов также была независимо открыта .
В 1981 году Николас де Брёйн описал алгебраический способ построения мозаик Пенроуза на основе пяти семейств параллельных прямых (или, альтернативно, с помощью сечения пятимерного пространства двумерной плоскостью).
Типы мозаик Пенроуза
Три типа мозаик Пенроуза имеют много общих черт, так, формы плиток во всех трёх типах связаны с правильным пятиугольником и золотым сечением. Основные формы при этом должны быть дополнены правилами сочетаний, чтобы гарантировать апериодичность. Правила сочетаний указывают, как соседние плитки могут сочетаться друг с другом, и могут быть реализованы пометками на вершинах, рёбрах или небольшими изменениями формы (добавление соответствующих выступов и впадин к рёбрам)
Исходная мозаика Пенроуза (P1)
Этот тип мозаики Пенроуза строится из плиток шести типов: три из них имеют форму правильного пятиугольника (они различаются между собой правилами сочетаний), остальные имеют форму пятиконечной звезды, «лодочки» (похожа на звезду с отрезанными двумя лучами) и ромба.
Этот раздел нужно дополнить. |
Мозаика Пенроуза из дельтоидов (P2)
Второй тип мозаики Пенроуза строится из плиток двух типов: выпуклого дельтоида («зме́я») и вогнутого дельтоида («дротика»). Эти формы могут быть соединены, образуя ромб, однако правила сочетания запрещают такое соединение плиток в мозаике Пенроуза.
- Выпуклый дельтоид имеет углы в 72°, 72°, 72° и 144°. Ось симметрии разбивает его на два равных равнобедренных треугольника с углами 36°, 72° и 72° (так называемый «золотой треугольник»).
- Вогнутый дельтоид имеет углы в 36°, 72°, 36° и 216°. Ось симметрии разбивает его на два равных равнобедренных треугольника с углами 36°, 36° и 108° (так называемый «тупоугольный золотой треугольник»).
Правила сочетаний можно обозначить несколькими способами. Можно раскрасить вершины плиток в два цвета и потребовать, чтобы смежные вершины имели один и тот же цвет. Можно нанести на плитки узор, как на рисунке слева, и потребовать, чтобы узоры на соседних плитках были согласованы (для случая цветных дуг слева, чтобы кривые не обрывались).
В мозаике Пенроуза типа P2 может быть семь типов вершин. Джон Конвей дал каждой своё название: симметричные вершины по своей форме были названы «солнце» и «луна», а остальные вершины — в честь достоинств игральных карт: «туз», «двойка», «валет», «дама» и «король».
Мозаика Пенроуза из ромбов (P3)
Третий тип строится также из плиток двух типов. Оба типа плиток имеют форму ромба. У них одинаковая длина стороны, но разные углы. Правила сочетаний предотвращают использование плиток для периодического замощения.
- Узкий ромб имеет острый угол 36°. Короткая диагональ разбивает его на два «золотых треугольника».
- Широкий ромб имеет острый угол 72°. Длинная диагональ разбивает его на два тупоугольных «золотых треугольника».
В мозаике Пенроуза типа P3 может быть восемь типов вершин. Они были названы де Брёйном по первым буквам названий вершин типа P2.
Этот раздел нужно дополнить. |
Свойства мозаик Пенроуза
Операции измельчения и укрупнения
Большинство общих свойств, включая апериодичность, следуют из иерархической структуры, определяемой операциями измельчения и укрупнения мозаик Пенроуза.
Разрезав все плитки мозаики Пенроуза по определённым правилам, а затем объединив некоторые фрагменты, можно получить мозаику Пенроуза с плитками, подобными исходным с коэффициентом
Такая операция называется измельчением. Правила в общем случае следующие: каждый тип плитки разрезается на плитки меньшего размера и части плиток. В случае P2 и P3 частями будут половинки плиток (золотые треугольники), в случае P1 это могут быть золотые треугольники, а также трапеция. При применении этих правил к мозаикам Пенроуза, за счёт соблюдения правил сочетаний, части плиток будут расположены так, что могут быть объединены, образуя целую плитку.
Обратная операция, называемая укрупнением, определена однозначно. Однозначность укрупнения влечёт апериодичность замощения.
Этот раздел нужно дополнить. |
Другие замощения, связанные с мозаикой Пенроуза
В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Покрытие десятиугольниками
В 1996 году немецкий математик Петра Гуммельт показала, что существует покрытие (в отличие от замощения, здесь допускается перекрытие плиток) плоскости десятиугольниками, эквивалентное замощению Пенроуза. Десятиугольная плитка раскрашена в два цвета, и правило покрытия допускает лишь такое наложение плиток, что не перекрываются два участка с разными цветами.
Такие покрытия рассматривались как реалистичная модель роста квазикристаллов: перекрывающиеся десятиугольники представляют собой «квазиэлементарные ячейки», аналогичные элементарным ячейкам обычных кристаллов.
Замощение «шестиугольник, лодка, звезда»
Это замощение, называемое также сокращённо HBS (англ. hexagon-boat-star), получается из мозаики Пенроуза типа P3 объединением плиток в более крупные. Она также получается из P1 соединением центров смежных пятиугольников.
Данное замощение также рассматривается как реалистичная модель роста квазикристаллов: три типа плиток представляют три типа атомов, а правила сочетания отражают взаимодействия между ними.
В трёхмерном пространстве
В трёхмерном пространстве используются икосаэдры, которыми осуществляется плотное заполнение трёхмерного пространства.
В архитектуре
Мечеть имама Дарб-и, находящаяся на территории современного Ирана в провинции Исфахан и построенная в 1453 году, украшена узором (гирихом), сильно напоминающим по своей структуре мозаику Пенроуза.
Примечания
- Culik & Kari, 1997.
- Плитки Пенроуза. Дата обращения: 9 февраля 2011. Архивировано 22 сентября 2013 года.
Литература
- Culik, Karel; Kari, Jarkko (1997), On aperiodic sets of Wang tiles, Foundations of Computer Science, Lecture Notes in Computer Science, vol. 1337, pp. 153–162, doi:10.1007/BFb0052084, ISBN 3-540-63746-X
Ссылки
- Квазикристаллы и золотая пропорция / Наука и жизнь, № 10, 2005 год
- Penrose tilings (англ.) Обзор различных видов и способы построения.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Мозаика Пенроуза, Что такое Мозаика Пенроуза? Что означает Мозаика Пенроуза?
Mozaika Penrouza plitki Penrouza obshee nazvanie tryoh osobyh tipov neperiodicheskogo razbieniya ploskosti nazvany po imeni anglijskogo matematika Rodzhera Penrouza issledovavshego ih v 1970 e gody Mozaika PenrouzaRodzher Penrouz stoit na polu pokrytom mozaikoj Penrouza Vse tri tipa kak i lyubye aperiodicheskie mozaiki obladayut sleduyushimi svojstvami neperiodichnost otsutstvie translyacionnoj simmetrii povtoryaemost takzhe nazyvaemaya samopodobiem chto odnako ne svyazano s odnoimyonnym svojstvom fraktalov lyuboj skol ugodno bolshoj fragment mozaiki Penrouza vstrechaetsya v mozaike beskonechnoe chislo raz hot i cherez neravnye rasstoyaniya kvazikristallichnost pri difrakcii na mozaike kak na fizicheskoj strukture difrakcionnaya kartina pokazyvaet nalichie dalnego poryadka i simmetrii pyatogo poryadka IstoriyaPeriodicheskie i aperiodicheskie zamosheniya Zamoshenie eto pokrytie ploskosti plitkami bez propuskov i nalozheniya plitok drug na druga Plitki obychno mogut imet konechnoe chislo razlichnyh form nazyvaemyh Govoryat chto nabor protoplitok dopuskaet zamoshenie esli sushestvuet zamoshenie ploskosti plitkami kongruentnymi protoplitkam nabora Zamoshenie nazyvaetsya periodicheskim esli sushestvuet dvuhparametricheskoe semejstvo parallelnyh perenosov kazhdyj iz kotoryh sovmeshaet ego s soboj V protivnom sluchae zamoshenie nazyvaetsya neperiodicheskim Naibolee izvestnye zamosheniya naprimer zamoshenie kvadratami ili treugolnikami yavlyayutsya periodicheskimi Nabor protoplitok nazyvaetsya aperiodicheskim esli on dopuskaet zamoshenie ploskosti no lyuboe zamoshenie dannymi plitkami yavlyaetsya neperiodicheskim Zamoshenie ploskosti plitkami iz aperiodicheskogo nabora takzhe samo nazyvaetsya aperiodicheskim Rannie aperiodicheskie zamosheniya Aperiodicheskij nabor iz 13 plitok Vana V 1960 e gody logik Hao Van rassmotrel problemu zamosheniya ploskosti kvadratami s raskrashennymi ryobrami sejchas izvestnymi kak plitki Vana mozhno li zamostit ploskost takimi kvadratami bez povorotov i otrazhenij tak chtoby kvadraty soprikasalis ryobrami odinakovogo cveta Shest plitok Robinsona Van zametil chto esli eta problema algoritmicheski nerazreshima to sushestvuet aperiodicheskij nabor plitok Vana V to vremya eto schitalos maloveroyatnym poetomu Van predpolozhil razreshimost problemy zamosheniya Odnako student Vana pokazal chto problema zamosheniya algoritmicheski nerazreshima to est gipoteza Vana byla neverna On takzhe postroil aperiodicheskij nabor plitok Vana sostoyashij iz 20 426 plitok V dalnejshem byli najdeny aperiodicheskie nabory iz menshego chisla plitok Na nastoyashij moment minimalnym yavlyaetsya nabor iz 13 plitok najdennyj v 1996 godu Na osnove rezultatov Bergera Rafael Robinson poluchil aperiodicheskij nabor sostoyashij iz vsego shesti protoplitok vrasheniya i otrazheniya uzhe dopuskayutsya Razrabotka mozaik Penrouza Sovmeshyonnye mozaiki P1 chyornye linii i P3 zhyoltye linii Pervyj tip zamosheniya Penrouza P1 takzhe sostoit iz shesti protoplitok no oni osnovany ne na kvadrate a na pravilnom pyatiugolnike Osnovyvayas na ideyah vyskazannyh Iogannom Keplerom v trude Harmonices Mundi on sumel najti formy plitok i pravila sochetanij kotorye garantirovali aperiodichnost nabora Mozaiku P1 mozhno rassmatrivat kak rasshirenie figury Aa izobrazhyonnoj Keplerom konechnoj figury sostavlennoj iz pravilnyh pyatiugolnikov pyatikonechnyh zvyozd desyatiugolnikov i nekotoryh drugih figur Vposledstvii Penrouz sumel sokratit kolichestvo protoplitok do dvuh poluchiv eshyo dva tipa mozaiki Penrouza iz deltoidov P2 i iz rombov P3 Mozaika Penrouza iz rombov takzhe byla nezavisimo otkryta V 1981 godu Nikolas de Bryojn opisal algebraicheskij sposob postroeniya mozaik Penrouza na osnove pyati semejstv parallelnyh pryamyh ili alternativno s pomoshyu secheniya pyatimernogo prostranstva dvumernoj ploskostyu Tipy mozaik PenrouzaFragment mozaiki Penrouza tipa P1 Tri tipa mozaik Penrouza imeyut mnogo obshih chert tak formy plitok vo vseh tryoh tipah svyazany s pravilnym pyatiugolnikom i zolotym secheniem Osnovnye formy pri etom dolzhny byt dopolneny pravilami sochetanij chtoby garantirovat aperiodichnost Pravila sochetanij ukazyvayut kak sosednie plitki mogut sochetatsya drug s drugom i mogut byt realizovany pometkami na vershinah ryobrah ili nebolshimi izmeneniyami formy dobavlenie sootvetstvuyushih vystupov i vpadin k ryobram Ishodnaya mozaika Penrouza P1 Etot tip mozaiki Penrouza stroitsya iz plitok shesti tipov tri iz nih imeyut formu pravilnogo pyatiugolnika oni razlichayutsya mezhdu soboj pravilami sochetanij ostalnye imeyut formu pyatikonechnoj zvezdy lodochki pohozha na zvezdu s otrezannymi dvumya luchami i romba Etot razdel nuzhno dopolnit Pozhalujsta uluchshite i dopolnite razdel 27 marta 2014 Mozaika Penrouza iz deltoidov P2 Vtoroj tip mozaiki Penrouza stroitsya iz plitok dvuh tipov vypuklogo deltoida zme ya i vognutogo deltoida drotika Eti formy mogut byt soedineny obrazuya romb odnako pravila sochetaniya zapreshayut takoe soedinenie plitok v mozaike Penrouza Plitki sverhu i sem vozmozhnyh tipov vershin snizu v mozaike Penrouza tipa P2 Vypuklyj deltoid imeet ugly v 72 72 72 i 144 Os simmetrii razbivaet ego na dva ravnyh ravnobedrennyh treugolnika s uglami 36 72 i 72 tak nazyvaemyj zolotoj treugolnik Vognutyj deltoid imeet ugly v 36 72 36 i 216 Os simmetrii razbivaet ego na dva ravnyh ravnobedrennyh treugolnika s uglami 36 36 i 108 tak nazyvaemyj tupougolnyj zolotoj treugolnik Pravila sochetanij mozhno oboznachit neskolkimi sposobami Mozhno raskrasit vershiny plitok v dva cveta i potrebovat chtoby smezhnye vershiny imeli odin i tot zhe cvet Mozhno nanesti na plitki uzor kak na risunke sleva i potrebovat chtoby uzory na sosednih plitkah byli soglasovany dlya sluchaya cvetnyh dug sleva chtoby krivye ne obryvalis V mozaike Penrouza tipa P2 mozhet byt sem tipov vershin Dzhon Konvej dal kazhdoj svoyo nazvanie simmetrichnye vershiny po svoej forme byli nazvany solnce i luna a ostalnye vershiny v chest dostoinstv igralnyh kart tuz dvojka valet dama i korol Mozaika Penrouza iz rombov P3 Pravila sochetanij dlya mozaiki tipa P3 pokazannye s pomoshyu uzora v vide krugovyh linij i modifikacii plitok Tretij tip stroitsya takzhe iz plitok dvuh tipov Oba tipa plitok imeyut formu romba U nih odinakovaya dlina storony no raznye ugly Pravila sochetanij predotvrashayut ispolzovanie plitok dlya periodicheskogo zamosheniya Uzkij romb imeet ostryj ugol 36 Korotkaya diagonal razbivaet ego na dva zolotyh treugolnika Shirokij romb imeet ostryj ugol 72 Dlinnaya diagonal razbivaet ego na dva tupougolnyh zolotyh treugolnika V mozaike Penrouza tipa P3 mozhet byt vosem tipov vershin Oni byli nazvany de Bryojnom po pervym bukvam nazvanij vershin tipa P2 Etot razdel nuzhno dopolnit Pozhalujsta uluchshite i dopolnite razdel 27 marta 2014 Svojstva mozaik PenrouzaOperacii izmelcheniya i ukrupneniya Pravila izmelcheniya mozaiki Penrouza tipa P3 Bolshinstvo obshih svojstv vklyuchaya aperiodichnost sleduyut iz ierarhicheskoj struktury opredelyaemoj operaciyami izmelcheniya i ukrupneniya mozaik Penrouza Razrezav vse plitki mozaiki Penrouza po opredelyonnym pravilam a zatem obediniv nekotorye fragmenty mozhno poluchit mozaiku Penrouza s plitkami podobnymi ishodnym s koefficientom 1f 5 12 displaystyle frac 1 varphi frac sqrt 5 1 2 Takaya operaciya nazyvaetsya izmelcheniem Pravila v obshem sluchae sleduyushie kazhdyj tip plitki razrezaetsya na plitki menshego razmera i chasti plitok V sluchae P2 i P3 chastyami budut polovinki plitok zolotye treugolniki v sluchae P1 eto mogut byt zolotye treugolniki a takzhe trapeciya Pri primenenii etih pravil k mozaikam Penrouza za schyot soblyudeniya pravil sochetanij chasti plitok budut raspolozheny tak chto mogut byt obedineny obrazuya celuyu plitku Obratnaya operaciya nazyvaemaya ukrupneniem opredelena odnoznachno Odnoznachnost ukrupneniya vlechyot aperiodichnost zamosheniya Etot razdel nuzhno dopolnit Pozhalujsta uluchshite i dopolnite razdel 27 marta 2014 Drugie zamosheniya svyazannye s mozaikoj PenrouzaV razdele ne hvataet ssylok na istochniki sm rekomendacii po poisku Informaciya dolzhna byt proveryaema inache ona mozhet byt udalena Vy mozhete otredaktirovat statyu dobaviv ssylki na avtoritetnye istochniki v vide snosok 1 maya 2024 Pokrytie desyatiugolnikami Desyatiugolnik Gummelt i vozmozhnye sposoby perekrytiya dvuh desyatiugolnikov V 1996 godu nemeckij matematik Petra Gummelt pokazala chto sushestvuet pokrytie v otlichie ot zamosheniya zdes dopuskaetsya perekrytie plitok ploskosti desyatiugolnikami ekvivalentnoe zamosheniyu Penrouza Desyatiugolnaya plitka raskrashena v dva cveta i pravilo pokrytiya dopuskaet lish takoe nalozhenie plitok chto ne perekryvayutsya dva uchastka s raznymi cvetami Takie pokrytiya rassmatrivalis kak realistichnaya model rosta kvazikristallov perekryvayushiesya desyatiugolniki predstavlyayut soboj kvazielementarnye yachejki analogichnye elementarnym yachejkam obychnyh kristallov Zamoshenie shestiugolnik lodka zvezda Plitki zamosheniya HBS Eto zamoshenie nazyvaemoe takzhe sokrashyonno HBS angl hexagon boat star poluchaetsya iz mozaiki Penrouza tipa P3 obedineniem plitok v bolee krupnye Ona takzhe poluchaetsya iz P1 soedineniem centrov smezhnyh pyatiugolnikov Dannoe zamoshenie takzhe rassmatrivaetsya kak realistichnaya model rosta kvazikristallov tri tipa plitok predstavlyayut tri tipa atomov a pravila sochetaniya otrazhayut vzaimodejstviya mezhdu nimi V tryohmernom prostranstve V tryohmernom prostranstve ispolzuyutsya ikosaedry kotorymi osushestvlyaetsya plotnoe zapolnenie tryohmernogo prostranstva V arhitekture Mechet imama Darb i nahodyashayasya na territorii sovremennogo Irana v provincii Isfahan i postroennaya v 1453 godu ukrashena uzorom girihom silno napominayushim po svoej strukture mozaiku Penrouza PrimechaniyaCulik amp Kari 1997 Plitki Penrouza neopr Data obrasheniya 9 fevralya 2011 Arhivirovano 22 sentyabrya 2013 goda LiteraturaCulik Karel Kari Jarkko 1997 On aperiodic sets of Wang tiles Foundations of Computer Science Lecture Notes in Computer Science vol 1337 pp 153 162 doi 10 1007 BFb0052084 ISBN 3 540 63746 XSsylkiMediafajly na Vikisklade Kvazikristally i zolotaya proporciya Nauka i zhizn 10 2005 god Penrose tilings angl Obzor razlichnyh vidov i sposoby postroeniya
