Обратимая функция

Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

График линейной функции, которая является обратимой.

График квадратичной функции, которая не является обратимой.

Определение

Если функция $y=f(x)$ такова, что для любого её значения $y_{0}$ уравнение $f(x)=y_{0}$ имеет относительно $x$ единственный корень, то говорят, что функция $f$ обратима.

Свойства

Если функция $y=f(x)$ определена и возрастает (или убывает) на промежутке $X$ и областью её значений является промежуток $Y$ , то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на $X$ .
Если функция $y=f(x)$ задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение $f(x)=y$ относительно $x$ , а потом поменять местами $x$ и $y$ .
Если уравнение $f(x)=y$ имеет более одного корня, то функции, обратной функции $y=f(x)$ , не существует.
Графики обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$ .
Если $f$ и $g$ – функции, обратные друг другу, то $E(f)=D(g)$ , $D(f)=E(g)$ , где $D$ и $E$ – области определения и значений соответственно.
Обратная функция может существовать только для обратимой функции.

Примеры

Функция $y=x^{2}$ не является обратимой на $\mathbb {R}$ , но обратима при $x\geqslant 0$ или $x\leqslant 0$ .
Функция $\sin x$ не является обратимой на $\mathbb {R}$ , т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.