Ортогональное преобразование - NiNa.Az

Ортогональное преобразование — линейное преобразование ${\displaystyle A}$ евклидова пространства ${\displaystyle L}$, сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов ${\displaystyle x,y\in L}$ выполняется равенство

${\displaystyle \langle A(x),\,A(y)\rangle =\langle x,\,y\rangle ,}$

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle }$ в пространстве ${\displaystyle L}$.

Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.
• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования ${\displaystyle A}$ является равенство

  ${\displaystyle A^{*}=A^{-1},\qquad (*)}$

где ${\displaystyle A^{*}}$ — сопряжённое, а ${\displaystyle A^{-1}}$ — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы ${\displaystyle A}$ является равенство (*), где ${\displaystyle A^{*}}$ — транспонированная, а ${\displaystyle A^{-1}}$ — обратная матрицы.
• Собственные значения ортогональных преобразований по модулю равны ${\displaystyle 1}$, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Например, собственные значения матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}}$ равны ${\displaystyle \cos \varphi \pm i\cdot \sin \varphi }$, а собственные векторы равны ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\\mp i\end{pmatrix}}}$.
• Определитель ортогонального преобразования равен ${\displaystyle 1}$ (собственное ортогональное преобразование) или ${\displaystyle -1}$ (несобственное ортогональное преобразование).
• В произвольном ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.
• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность 2

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол ${\displaystyle \varphi }$, и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.}$

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.}$

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}},}$

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\ \ 0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \cos \varphi &\ \ \sin \varphi \\\sin \varphi &-\cos \varphi \end{pmatrix}}.}$

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.

Размерность n

Имеет место следующая общая теорема:

Для каждого ортогонального преобразования ${\displaystyle A\colon L\to L}$ евклидова ${\displaystyle n}$-мерного пространства ${\displaystyle L}$ справедливо такое разложение ${\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{-1}\oplus M_{\varphi _{1}}\oplus \ldots \oplus M_{\varphi _{k}},}$ где все подпространства ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle L_{-1}}$ и ${\displaystyle M_{\varphi _{i}}}$ попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования ${\displaystyle A}$, причём: ограничение ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle L_{1}}$ есть ${\displaystyle E}$ (тождественное преобразование), ограничение ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle L_{-1}}$ есть ${\displaystyle -E}$, все пространства ${\displaystyle M_{\varphi _{i}}}$ двумерны (плоскости), и ограничение ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle M_{\varphi _{i}}}$ есть поворот плоскости ${\displaystyle M_{\varphi _{i}}}$ на угол ${\displaystyle \varphi _{i}}$.

В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица ${\displaystyle A}$ имеет блочно-диагональный вид: ${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}\,1&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&\ddots &{}&{}&{}&{}&0&{}&{}\\\,{}&{}&1&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&-1&{}&{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&\ddots &{}&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&-1&{}&{}&{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_{\varphi _{1}}&{}&{}\\\,{}&{}&0&{}&{}&{}&{}&\ddots &{}\\\,{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&A_{\varphi _{k}}\\\end{matrix}}\right),}$ где ${\displaystyle A_{\varphi _{i}}}$ — матрица поворота на угол ${\displaystyle {\varphi _{i}}}$ (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства ${\displaystyle L_{1}}$ и число минус единиц равно размерности подпространства ${\displaystyle L_{-1}}$.

Такая запись матрицы ${\displaystyle A}$ ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.

См. также

• Ортогональная матрица

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.