Отношение равенства - NiNa.Az

У этого термина существуют и другие значения, см. Равенство.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	•	×	×	×	×	×	×	×	×	×
1	×	•	×	×	×	×	×	×	×	×
2	×	×	•	×	×	×	×	×	×	×
3	×	×	×	•	×	×	×	×	×	×
4	×	×	×	×	•	×	×	×	×	×
5	×	×	×	×	×	•	×	×	×	×
6	×	×	×	×	×	×	•	×	×	×
7	×	×	×	×	×	×	×	•	×	×
8	×	×	×	×	×	×	×	×	•	×
9	×	×	×	×	×	×	×	×	×	•
Равенство десятичных цифр как бинарное отношение: •истина, ×ложь

Ра́венство (отношение равенства) в математике — бинарное отношение, наиболее логически сильная разновидность отношений эквивалентности.

Определения равенства

Равенство является интуитивно очевидным отношением: значение двух выражений одно и то же. При его формальном определении возникает разнобой.

Теория множеств, по определению, считает два объекта (то есть, два множества) равными, если они состоят из одних и тех же элементов:

${\displaystyle A=B\ \ \Leftrightarrow \ \ \forall x\colon \ (x\in A)\ \Leftrightarrow \ (x\in B)}$

В теориях с типизацией объектов отношение равенства имеет смысл лишь между элементами одного (попросту говоря, внутри определённого множества). Логицисты (сначала в логике предикатов Фреге, затем в рамках теории типов) опирались на определение равенства, похожее на теоретико-множественное, но рассматривающее отношения с другой стороны:

${\displaystyle x=y\ \ \Leftrightarrow \ \ \forall P\colon \ P(x)\ \Leftrightarrow \ P(y)}$

То есть, для равенства двух объектов необходимо и достаточно, чтобы любой предикат, который может быть построен на данном типе, давал на них одинаковое логическое значение. Впрочем, не логицисты это определение придумали — оно было известно ещё Лейбницу.

Некоторые формальные теории уклоняются от определения равенства, считая его изначально заданным отношением эквивалентности.

Связанные определения

Формальное определение и интуитивное понимание равенства иногда конфликтуют. Равно ли (целое) число 1 (действительному) числу ${\displaystyle e^{0}}$? С точки зрения интуиции — да, а с точки зрения теории типов вопрос неверно поставлен (ср. с проблемой приведения типов в программировании). В математике в подобных случаях подразумевается каноническое вложение одного множества (пространства, типа) в другое, большее. Вопрос о равенстве целого числа действительному можно понимать как равенство собственно действительного и другого действительного числа, соответствующего нашему целому. То есть, работа с интуитивно «очевидными» фактами типа всякое целое число является рациональным, а рациональное — действительным, требует в рамках некоторых формальных подходов специальных оговорок.

Виды равенств, различаемых по математическому смыслу

• Равенство в общем случае (как правило, численное равенство). Знак: ${\displaystyle =}$ (вообще равно).

• Уравнение — построенное при помощи равенства логическое высказывание, в которое входит переменная. Оно задаёт подмножество предметной области переменной — множество корней уравнения. Знак: ${\displaystyle {\overline {\underline {\,.\,}}}}$ (возможное равенство).
• Тождество — высказывание, верное при любых значениях переменных. Оно часто (хотя вовсе не обязательно) строится на основе отношения равенства. Знак: ${\displaystyle \equiv }$ (тождественное равенство). Можно сделать уточнение. Два алгебраических выражения ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются тождественно равными на области ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, лежащей в ОДЗ этих выражений, если для всех числовых значений переменных из области ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ соответствующие числовые значения этих выражений равны. Тогда говорят, что на области ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ справедливо тождественное равенство (тождество) ${\displaystyle A=B}$. Если имеет тождество ${\displaystyle A\equiv B}$ на ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, то можно записать и так: ${\displaystyle A\;{\stackrel {{\mathcal {M}}\ }{=\,}}B}$.

Определение величины или переменной записывается с помощью равенства: Пусть переменная равна выражению.

См. также

• Знак равенства
• Присваивание
• Сравнение (программирование)
• Эквиваленция