Полуопределённая форма - NiNa.Az

Не следует путать с положительной матрицей.

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

Формулировки

Пусть ${\displaystyle M}$ будет эрмитовой матрицей размерности ${\displaystyle n\times n}$. Обозначим транспонированный вектор ${\displaystyle a}$ посредством ${\displaystyle a^{T}}$, а сопряжённый транспонированный вектор — посредством ${\displaystyle a^{*}}$.

Матрица ${\displaystyle M}$ является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

1.	Для всех ненулевых комплексных векторов ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\textbf {z}}^{*}M{\textbf {z}}>0.}$ Отметим, что величина ${\displaystyle z^{*}Mz}$ всегда вещественна, поскольку ${\displaystyle M}$ — эрмитова матрица.
2.	Все собственные значения ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \lambda _{i},i=1,2,\dots ,n}$, положительны. Любая эрмитова матрица по теореме о спектральном разложении может быть представлена как вещественная диагональная матрица ${\displaystyle D}$, переведённая в другую систему координат (то есть ${\displaystyle M=P^{-1}DP}$, где ${\displaystyle P}$ — унитарная матрица, строками которой являются ортонормальные собственные векторы ${\displaystyle M}$, образующие базис). По этому определению ${\displaystyle M}$ — положительно определённая матрица, если все элементы главной диагонали ${\displaystyle D}$ (или, другими словами, собственные значения ${\displaystyle M}$) положительны. То есть в базисе, состоящем из собственных векторов ${\displaystyle M}$, действие ${\displaystyle M}$ на вектор ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ равносильно покомпонентному умножению ${\displaystyle z}$ на положительный вектор.
3.	Полуторалинейная форма ${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$ определяет скалярное произведение в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Обобщая сказанное, любое скалярное произведение в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.
4.	${\displaystyle M}$ — матрица Грама, образованная из множества линейно независимых векторов ${\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}}$ для какого-то ${\displaystyle k}$. Другими словами, элементы ${\displaystyle M}$ определены следующим образом ${\displaystyle M_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}.}$ Таким образом, ${\displaystyle M=A^{*}A}$, где ${\displaystyle A}$ инъективная, но не обязательно квадратная матрица.
5.	Определители всех угловых миноров матриц положительны (критерий Сильвестра). В соответствии с этим критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}.}$

Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ может быть заменено на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формы

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть ${\displaystyle K}$ будет полем вещественных (${\displaystyle \mathbb {R} }$) или комплексных (${\displaystyle \mathbb {C} }$) чисел, а ${\displaystyle \mathbb {V} }$ будет векторным пространством над ${\displaystyle K}$. Эрмитова форма

${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}$

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным ${\displaystyle B\left(x,y\right)}$, будет ${\displaystyle B\left(y,x\right)}$. Такая функция ${\displaystyle B}$ называется положительно определённой, когда ${\displaystyle B\left(x,x\right)>0}$ для любого ненулевого ${\displaystyle x\in V}$.

Отрицательно определённая, полуопределённая и неопределённая матрицы

Эрмитова матрица ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n\times n}$ будет называться отрицательно определённой, если

${\displaystyle x^{*}Mx<0}$

для всех ненулевых ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$).

${\displaystyle M}$ будет называться положительно полуопределённой (или неотрицательно определённой), если

${\displaystyle x^{*}Mx\geq 0}$

для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (или, эквивалентным образом, для всех ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$).

${\displaystyle M}$ будет называться отрицательно полуопределённой (или неположительно определённой), если

${\displaystyle x^{*}Mx\leq 0}$

для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ (или, эквивалентным образом, для всех ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$).

Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны.

Матрица ${\displaystyle M}$ будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.

Для любой матрицы ${\displaystyle A}$ выполняется следующее: ${\displaystyle A^{*}A}$ — положительно полуопределённая, а ${\displaystyle \operatorname {rank} \left(A\right)=\operatorname {rank} \left(A^{*}A\right)}$. Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица ${\displaystyle M}$ может быть выражена как ${\displaystyle M=A^{*}A}$ (разложение Холецкого).

Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.

Дополнительные свойства

Введём обозначение ${\displaystyle M\succeq 0}$ для положительно полуопределённых матриц и ${\displaystyle M\succ 0}$ — для положительно определённых матриц.

Для произвольных квадратных матриц ${\displaystyle M,N}$ будем писать ${\displaystyle M\succeq N}$, если ${\displaystyle M-N\succeq 0}$, то есть ${\displaystyle M-N}$ положительно полуопределённая матрица. Таким образом, отношение ${\displaystyle \succeq }$ определяет частичный порядок на множестве квадратных матриц. Подобным образом можно определить отношение полного порядка ${\displaystyle M\succ N}$.

1.	Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если ${\displaystyle M\succeq N\succ 0}$, то ${\displaystyle N^{-1}\succeq M^{-1}\succ 0}$.
2.	Если ${\displaystyle M}$ — положительно определённая матрица и ${\displaystyle 0<r\in \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle r\cdot M}$ положительно определённая матрица. Если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — положительно определённые матрицы, то произведения ${\displaystyle MNM}$ и ${\displaystyle NMN}$ тоже положительно определённые. Если ${\displaystyle MN=NM}$, то ${\displaystyle MN}$ тоже положительно определённая.
3.	Если ${\displaystyle M}$ — положительно определённая матрица, то элементы главной диагонали ${\displaystyle m_{ii}}$ положительны. Следовательно, ${\displaystyle \operatorname {trace} \left(M\right)>0}$. Более того, ${\displaystyle |m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}}$.
4.	${\displaystyle M}$ — положительно определённая матрица тогда и только тогда, когда существует положительно определённая ${\displaystyle B\succ 0}$ такая, что ${\displaystyle B^{2}=M}$. Обозначим ${\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}}$. Такая матрица ${\displaystyle B}$ единственна при условии, что ${\displaystyle B\succ 0}$. Если ${\displaystyle M\succ N\succ 0}$, то ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}>N^{\frac {1}{2}}>0}$.
5.	Если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — положительно определённые матрицы, то ${\displaystyle M\otimes N\succ 0}$ (где ${\displaystyle \otimes }$ обозначает произведение Кронекера).
6.	Если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — положительно определённые матрицы, то ${\displaystyle M\circ N\succ 0}$ (где ${\displaystyle \circ }$ обозначает произведение Адамара). Когда ${\displaystyle M,N}$ вещественные матрицы, выполняется также следующее неравенство (): ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}}$.
7.	Если ${\displaystyle M}$ — положительно определённая матрица, а ${\displaystyle N}$ — эрмитова матрица и ${\displaystyle MN+NM\succeq 0}$ ${\displaystyle \left(MN+NM\succ 0\right)}$, то ${\displaystyle N\succeq 0}$ ${\displaystyle \left(N\succ 0\right)}$.
8.	Если ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ — положительно полуопределённые вещественные матрицы, то ${\displaystyle \operatorname {trace} \left(MN\right)\succeq 0}$.
9.	Если ${\displaystyle M}$ — положительно определённая вещественная матрица, то существует число ${\displaystyle \delta >0}$ такое, что ${\displaystyle M\succeq \delta I}$, где ${\displaystyle I}$ — единичная матрица.

Неэрмитовы матрицы

Вещественные несимметрические матрицы тоже могут удовлетворять неравенству ${\displaystyle x^{T}Mx>0}$ для всех ненулевых вещественных векторов ${\displaystyle x}$. Такой, к примеру, является матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}$

поскольку для всех ненулевых вещественных векторов ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0.}$

Обобщая, ${\displaystyle x^{T}Mx>0}$ для всех ненулевых вещественных векторов ${\displaystyle x}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\frac {M+M^{T}}{2}}}$ положительно определённая.

Для комплексных матриц существует несколько обобщений неравенства ${\displaystyle x^{*}Mx>0}$. Если ${\displaystyle x^{*}Mx>0}$ для всех ненулевых комплексных векторов ${\displaystyle x}$, тогда матрица ${\displaystyle M}$ эрмитова. То есть если ${\displaystyle x^{*}Mx>0}$, то ${\displaystyle M}$ эрмитова. С другой стороны, ${\displaystyle \operatorname {Re} \left(x^{*}Mx\right)>0}$ для всех ненулевых комплексных векторов ${\displaystyle x}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\frac {M+M^{*}}{2}}}$ положительно определённая.

См. также

• Сигнатура квадратичной формы
• Квадратный корень
• Дополнение Шура
• Разложение Холецкого

Примечания

1. Николай Боголюбов, Анатолий Логунов, Анатолий Оксак, Иван Тодоров. Общие принципы квантовой теории поля. — ФИЗМАТЛИТ, 2006. — С. 20. — 744 с. — ISBN 9785457966253.
2. Василий Фомичев, Андрей Фурсов, Сергей Коровин, Станислав Емельянов, Александр Ильин. Математические методы теории управления. Проблемы устойчивости, управляемости и наблюдаемости. — ФИЗМАТЛИТ, 2014. — С. 182. — 200 с. — ISBN 9785457964747.

Литература

• R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
• R. Bhatia, Positive definite matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.