Преобразование подобия - NiNa.Az

У этого термина существуют и другие значения, см. Подобие (значения).

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и их образов ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ имеет место соотношение ${\displaystyle |A'B'|=k\cdot |AB|}$, при некотором фиксированном ${\displaystyle k\neq 0}$, называемым коэффициентом подобия.

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Понятие подобия определяется аналогично для метрических, для римановых пространств (см. раздел Обобщения).

История

Подобные фигуры рассматривались в Древней Греции в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и в VI книге «Начал» Евклида.

Частные случаи

• Гомотетией называется подобие, имеющее неподвижную точку и сохраняющее ориентацию.
• Движением называется преобразование подобия с коэффициентом ${\displaystyle k=1}$, то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.

Связанные определения

• Фигура ${\displaystyle F}$ называется подобной фигуре ${\displaystyle F'}$, если существует преобразование подобия, при котором ${\displaystyle F\mapsto F'}$.
  • Подобие фигур является отношением эквивалентности.
  • Для обозначения подобия обычно используется значок ${\displaystyle \sim }$ — ${\displaystyle F\sim F'}$ означает, что фигуры ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F'}$ подобны.

Метод подобия

Подобие фигур применяется к решению многих задач на построение.

Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой. Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.

Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку.

Свойства

• Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
• Подобие является аффинным преобразованием плоскости.
• Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка ${\displaystyle B}$ лежит между точками ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle B'}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle C'}$ — соответствующие их образы при некотором подобии, то ${\displaystyle B'}$ также лежит между точками ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle C'}$.
• Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
• Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
• Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
• Подобие с коэффициентом ${\displaystyle k\not =1}$, преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом ${\displaystyle k}$ или ${\displaystyle -k}$.
  • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения ${\displaystyle D}$ и некоторой гомотетии ${\displaystyle \Gamma }$ с положительным коэффициентом.
  • Подобие называется собственным (несобственным), если движение ${\displaystyle D}$ является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
• Два треугольника в евклидовой геометрии являются подобными, если
  • их соответственные углы равны, или
  • стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
• Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в ${\displaystyle n}$-мерных римановых, псевдоримановых и пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет ${\displaystyle r}$-членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов ${\displaystyle r}$-членная группа подобных преобразований Ли содержит ${\displaystyle (r-1)}$-членную нормальную подгруппу движений.

См. также

• Гомеоморфизм
• Конгруэнтность (геометрия)
• Конформное отображение
• Масштаб (коэффициент подобия)
• Признаки подобия треугольников
• Пропорциональность
• Самоподобие
• Симметрия

Примечания

1. А. П. Киселёв. Элементарная геометрия / под редакцией Н. А. Глаголева. — 1938.

Ссылки

• Равенство и подобие геометрических фигур.
• Граве Д. А. Гомотетические фигуры // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Подобие // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — С. 373. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.