Приведённый многочлен - NiNa.Az

В алгебре комплексных чисел приведённый многочлен — это многочлен одной переменной с единичным старшим коэффициентом. Старшим коэффициентом многочлена называется множитель при одночлене высшей степени. Соответственно, приведённый многочлен относительно одной переменной x имеет вид

${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}x^{0},}$ где a_n−1, …, a₀ — коэффициенты.

Приведение многочлена

В множестве комплексных чисел существует элемент 1 (единица), нейтральный относительно умножения, и при их сложении, вычитании, умножении и делении на ненулевое число получается всегда комплексное число, то есть это множество является полем, а значит, на этом поле любой многочлен можно свести к приведённому многочлену, корни которого остались бы те же, делением на старший коэффициент. По основной теореме алгебры и теореме Безу любой комплексный многочлен можно разложить в виде a_n(x − x₁)…(x − x_n), где x₁, …, x_n — все корни многочлена с учётом их кратности, а a_n оказывается старшим коэффициентом. Следовательно, превращая любой многочлен одной переменной в приведённый многочлен, его можно представить в виде (x − x₁)…(x − x_n). Таким образом получается, что в поле комплексных чисел приведённый многочлен, с учётом кратности имеющий те же корни, что и исходный, определён единственным образом.

Свойство

Замкнутость относительно умножения

Множество всех приведённых многочленов (с коэффициентами над каким-либо кольцом и с переменной x) замкнуто относительно умножения, то есть произведение приведённых многочленов всегда является приведённым многочленом.

Целые алгебраические числа

Целое алгебраическое число — это число, которое может быть корнем какого-то приведённого многочлена с целыми коэффициентами. Целые алгебраические числа, грубо говоря, обобщают целые числа по тому же принципу, по какому рациональные числа обобщаются до алгебраических: если алгебраическое число имеет первую степень, то оно является рациональным, а если целое алгебраическое — то вообще целым.

Минимальный многочлен

Алгебраические числа, являющиеся «рациональным» обобщением целых алгебраических чисел, — это числа, которые могут быть представлены как корни какого-то многочлена с рациональными коэффициентами, не тождественно равного нулю. Таких многочленов оказывается бесконечно много: они могут образовываться умножением изначального многочлена на ненулевой коэффициент, а также на линейный множитель.

Среди всех этих многочленов «самым оптимальным» является минимальный многочлен. Минимальным многочленом (с коэффициентами из какого-то поля, содержащего единицу) алгебраического числа называется приведённый многочлен наименьшей степени.

Примечания

1. Винберг, 2013, с. 99.
2. Винберг, 2013, с. 91.
3. Винберг, 2013, с. 385.
4. Винберг, 2013, с. 119.

Литература

Винберг Э.Б. Курс алгебры (рус.). — 2-е, стер.. — МЦНМО, 2013. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8.