Признак Раабе - NiNa.Az

Признак Раабе (признак Раабе — Дюамеля) — признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный в 1832 году Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) и независимо в 1839 году Жаном-Мари Дюамелем.

Формулировка

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится, если при достаточно больших ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство

${\displaystyle R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)\geqslant r,}$

где ${\displaystyle r>1}$.

Eсли ${\displaystyle R_{n}\leqslant 1}$, начиная с некоторого ${\displaystyle n}$, то ряд ${\displaystyle a_{n}}$ расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }R_{n}}$

то при ${\displaystyle R>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle R<1}$ — расходится.

Замечание. Если ${\displaystyle R=1}$, то признак Раабе не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

Доказательство основано на применении признака сравнения отношений при сравнении с обобщённым гармоническим рядом.

Пример

Для ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{2n}}$ признак в предельной форме дает 2, что означает сходимость ряда.

См. также

• Признак сходимости д’Аламбера — аналогичный признак, основанный на отношении соседних членов.

Примечания

1. J. L. Raabe. Untersuchungen über die Convergenz und Divergenz der Reihen (нем.) // Zeitschrift für Physik und Mathematik. — 1832. — Bd. 10. — S. 41—74.
2. M. Duhamel. Nouvelle règle pour la convergence des séries (фр.) // J. de mathématiques pures et appliquées. — 1839. — Vol. 4. — P. 214—221.

Литература

• Архипов, Г. И., Садовничий, В. А., Чубариков, В. Н. Лекции по математическому анализу : Учебник университетов и пед. вузов / Под ред. В. А. Садовничего. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. — ISBN 5-06-003596-4..
• И. М. Виноградов. Раабе признак // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Raabe's Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.