Простой многогранник - NiNa.Az

Простой многогранник — выпуклый ${\displaystyle d}$-мерный многогранник, у которого из любой вершины выходит ровно ${\displaystyle d}$ рёбер.

Примеры

• Размерность 3
  • Тетраэдр
  • Куб
  • Додекаэдр
  • Призма
• Любой многогранник Коксетера является простым

Свойства

• Многогранник является простым тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник симплициальный.
• Уравнения Дена — Сомервиля для простого многогранника выглядит следующим образом: если ${\displaystyle f_{k}}$ — число ${\displaystyle k}$-мерных граней ${\displaystyle n}$-мерного многогранника и

  ${\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}}$

то ${\displaystyle h_{k}=h_{n-k}}$ для любого ${\displaystyle k}$.

• Комбинаторный тип простого многогранника полностью определяется графом из его вершин и рёбер.
• Простые многогранники образуют открытое всюду плотное множество в пространстве многогранников с фиксированным числом граней коразмерности 1, которое снабжено метрикой Хаусдорфа.

Примечания

1. Kalai, Gil A simple way to tell a simple polytope from its graph. J. Combin. Theory Ser. A 49 (1988), no. 2, 381—383.