Пространство Колмогорова - NiNa.Az

Пространство Колмогорова (T₀-пространство) — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме Колмогорова T₀, то есть пространство, в котором для любой пары различных точек окрестность хотя бы одной из них не содержит вторую точку. Названы в честь математика Андрея Колмогорова.

Формальная запись условия для топологического пространства ${\displaystyle (X,\tau )}$:

${\displaystyle \forall a,b\in X,\ a\neq b\ \exists O\in \tau :(a\in O)\land (b\notin O)\lor (a\notin O)\land (b\in O)}$.

Почти все изучаемые топологические пространства являются колмогоровыми, в частности, таковы хаусдорфовы и T₁-пространства.

Топологически различимые точки всегда не равны друг другу. С другой стороны, если одноточечные множества ${\displaystyle \{x\}}$ и ${\displaystyle \{y\}}$ разделимы, то ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должны быть топологически различимы. Таким образом, топологическая различимость, в общем случае, сильнее различности точек, но слабее их разделимости.

Примеры неколмогоровских пространств

Если носитель топологии содержит больше одной точки, то в тривиальной топологии точки будут неразличимы.

В ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, где топология определяется декартовыми произведениями открытых множеств ${\displaystyle \mathbb {R} }$ на само ${\displaystyle \mathbb {R} }$, точки ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (a,c)}$ будут неразличимы.

Пространство всех измеримых функций ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$, таких что интеграл Лебега ${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} }\left|f(x)\right|^{2}\right)^{1/2}dx}$ конечен. Тогда две функции неразличимы, если они равны почти всюду.

Примеры колмогоровских пространств, не удовлетворяющих T₁

Особый интерес представляют T₀-пространства, не удовлетворяющие следующей по ограничительности аксиоме отделимости — T₁ (аксиоме Тихонова).

Топология Зарисского на множестве простых идеалов заданного коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ всегда удовлетворяет T₀, но не всегда T₁. В этом случае незамкнутые точки соответствуют простым идеалам, которые не являются максимальными.

Топология на носителе ${\displaystyle X}$ с хотя бы двумя элементами, заданная как ${\displaystyle \tau =\{S\subseteq X\ |\ p\in S\}\cup \{\varnothing \}}$ для некоторой точки ${\displaystyle p\in X}$, определяет колмогоровское пространство, не удовлетворяющее T₁, поскольку ${\displaystyle p}$ не замкнута (её замыкание есть всё пространство). Важным частным случаем является пространство Серпинского. Если же в этом случае топология задаётся наоборот: ${\displaystyle \tau =\{S\subseteq X\ |\ p\notin S\}\cup \{X\}}$, то также выполняется T₀, но не T₁.

Частично упорядоченное множество с (в такой топологии, любое пересечение открытых множеств открыто) будет удовлетворять T₀, но не T₁, если только порядок не является дискретным. Любое конечное T₀-пространство принадлежит этому типу.

Топология, базой которой являются все интервалы линейно упорядоченного множества вида ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\ |\ x>a\}}$ вместе с самим ${\displaystyle X}$.

Факторпространство Колмогорова

В основном изучаемые в топологии пространства удовлетворяют T₀. При возникновении неколмогорова пространства ${\displaystyle X}$ для удобства можно перейти к T₀-пространству, для чего вводится отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$, объединяющее неразличимые точки, и в дальнейшем изучается T₀-отделимое факторпространство ${\displaystyle X/\sim }$, называемое факторпространством Колмогорова и обозначаемое ${\displaystyle KQ(X)}$ (аналогичным образом в функциональном анализе переходят от ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$ к факторизованным ${\displaystyle L^{p}}$-пространствам).

Очевидно, если ${\displaystyle X}$ изначально является T₀-пространством, то ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle KQ(X)}$ гомеоморфны.

Топологические пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ являются эквивалентными по Колмогорову, если их колмогоровы факторпространства гомеоморфны. Различные свойства топологических пространств сохраняются при таком отношении. То есть, если ${\displaystyle KQ(X)}$ и ${\displaystyle KQ(Y)}$ гомеоморфны, то ${\displaystyle X}$ обладает некоторым свойством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Y}$ также обладает им. C другой стороны, некоторые свойства предполагают колмогоровость, но тогда, если ${\displaystyle X}$ им обладает, то ${\displaystyle X}$ должно быть колмогоровым. Лишь малое количество свойств, такие как недискретность, являются исключениями к этому правилу. Тем более, множество структур могут быть индуцированы с ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle KQ(X)}$.

Преобразование неколмогорова пространства в колмогорово путём перехода к факторпространству сохраняет основные изначально введённые дополнительные структуры, в частности, векторное пространство, полунорму и псевдометрику, согласованные с топологией. Например, можно перейти от полунормированного неколмогорова пространство к факторпростраству Колмогорова, удовлетворяющему тождеству параллелограмма, в этом случае полунорма становится нормой тогда и только тогда, когда топология удовлетворяет T₀, поэтому тем более факторпространство будет гильбертовым.

Примечания

1. Karno, Zbigniew (1994). On Kolmogorov Topological Spaces (PDF). Journal of Formalized Mathematics. 6 (published 2003).
2. Точка ${\displaystyle a}$ считается замкнутой, если замкнут синглетон ${\displaystyle \{a\}}$
3. Teemu Pirttimäki. A survey of Kolmogorov quotients (англ.) // University of Turku. — 2021.
4. Если ${\displaystyle X}$ — колмогорово, то эквивалентность (неразличимость) выполняется только для пары ${\displaystyle (x,x)\ \forall x\in X}$ и факторпространство по такому отношению совпадает с ${\displaystyle X}$.