Пространство Фреше - NiNa.Az

Пространство Фреше — полное локально выпуклое пространство, топология которого может быть задана метрикой. Названо в честь Мориса Фреше.

Частными случаями пространств Фреше являются банаховы пространства. Пространства Фреше сохраняют ряд важных свойств банаховых пространств, и это делает их удобными моделями локально выпуклых пространств в математике. В частности, в классе пространств Фреше справедливы

• Теорема Бэра,
• Принцип равномерной ограниченности,
• ,
• Теорема Банаха об обратном операторе.

Все пространства Фреше стереотипны. В теории стереотипных пространств двойственными объектами к пространствам Фреше являются пространства Браунера.

Примеры

• Всякое банахово пространство ${\displaystyle X}$ является пространством Фреше.

• Если ${\displaystyle M}$ — σ-компактное локально компактное топологическое пространство, то пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}(M)}$ непрерывных функций на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте является пространством Фреше.

• Если ${\displaystyle M}$ — вещественное гладкое многообразие, то пространство ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ гладких функций на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте по каждой производной является пространством Фреше.

• Если ${\displaystyle M}$ — комплексное многообразие, то пространство ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ голоморфных функций на ${\displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на каждом компакте является пространством Фреше.

Литература

• Шефер, Х. Топологические векторные пространства (неопр.). — Москва: Мир, 1971.
• Робертсон А.П., Робертсон, В.Дж. Топологические векторные пространства (неопр.). — Москва: Мир, 1967.
• Рудин, У. Функциональный анализ (неопр.). — Москва: Мир, 1975.