Равновесие Нэша - NiNa.Az

Равнове́сие Нэ́ша — концепция решения, одно из ключевых понятий теории игр. Так называется набор стратегий в игре для двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если другие участники своих стратегий не меняют. Джон Нэш доказал существование такого равновесия в смешанных стратегиях в любой .

Равновесие Нэша
Концепция решения в теории игр
Связанные множества решений
Надмножества	Рационализируемость Коррелированное равновесие ε-равновесие
Подмножества	Равновесие, совершенное по подыграм Равновесие дрожащей руки Эволюционно стабильная стратегия Сильное равновесие
Факты
Авторство	Джон Нэш
Применение	Все некооперативные игры

История

Джон Форбс Нэш

Эта концепция впервые использована Антуаном Огюстом Курно. Он показал, как найти то, что мы называем равновесием Нэша, в игре Курно. Нэш первым доказал, что подобные равновесия должны существовать для всех конечных игр с любым числом игроков. Это было сделано в его диссертации по некооперативным играм в 1950 году.

До Нэша это было доказано только для игр с 2 участниками с нулевой суммой Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном (1947).

Математическая формулировка

Соотношение равновесных концепций решения. Стрелками обозначено направление от рафинирований к менее требовательным концепциям

Допустим, ${\displaystyle (S,H)}$ — некооперативная игра n лиц в нормальной форме, где S — набор чистых стратегий, а H — набор выигрышей. Когда каждый игрок ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$ выбирает стратегию ${\displaystyle x_{i}\in S}$ в профиле стратегий ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n}),}$ игрок i получает выигрыш ${\displaystyle H_{i}(x).}$ Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии ${\displaystyle x_{i}}$, выбранной самим игроком i, но и от чужих стратегий ${\displaystyle x_{-i}}$, то есть всех стратегий ${\displaystyle x_{j}}$ при ${\displaystyle j\neq i}$. Профиль стратегий ${\displaystyle x^{*}\in S}$ является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии с ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ на ${\displaystyle x_{i}}$ не выгодно ни одному игроку ${\displaystyle i}$, то есть для любого ${\displaystyle i}$

${\displaystyle H_{i}(x^{*})\geqslant H_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).}$

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в (то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии, тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Примеры использования понятия

Социология

В социологической теории рационального выбора отдельно подчёркивается, что устойчивое состояние общества (социальное равновесие) может отличаться от оптимального (социальный оптимум). Такие неоптимальные, но устойчивые состояния и называют в социологии равновесием Нэша.

		Актор B
		1	2
Актор A	1	A: +1, B: +1	A: −1, B: +2
	2	A: +2, B: −1	A: 0, B: 0

В таблице слева приведена структура действия в терминах теории игр, составленная для двух действующих субъектов (акторов). Каждый актор имеет два варианта действия, обозначенных цифрами 1 и 2. Коэффициенты вознаграждения, получаемые ими при выборе определённых вариантов действия, указаны в соответствующих ячейках таблицы. Предположим, что в данный момент оба актора используют действие 2, а их вознаграждения соответственно равны нулю. Выбрав действие 1, актор A ухудшит собственную ситуацию на одну позицию (A: −1, B: +2). Аналогично актор B самостоятельно выбрав вариант 1, в то время когда актор A продолжает использовать действие 2, только ухудшит свою ситуацию (A: +2, B: −1). Таким образом, несмотря на то, что оба актора понимают, что оптимальным для них была бы ситуация, когда оба они используют действие 1 (вознаграждение — A: +1, B: +1), ни у одного из них нет мотива к изменению ситуации, а равновесие становится результатом отсутствия таких мотивов. Если система уже находится в оптимальном состоянии (когда оба актора выбрали действие 1), то у обоих из них всегда будет искушение начать использовать действие 2, которое принесёт им вознаграждение за счёт другого игрока. Этот пример иллюстрирует возможность существования двух социальных состояний: устойчивого, но неоптимального (оба актора используют вариант 2); а также второго оптимального, но неустойчивого (оба актора используют вариант 1).

Политология

Для объяснения различных явлений в политической теории часто используется понятие ядра́, являющееся более слабым вариантом равновесия Нэша. Ядром называют набор состояний, в каждом из которых ни одна группа акторов, способных выстроить новое (отсутствующее в данном ядре) состояние, не улучшит своей ситуации по сравнению с их состоянием в данном ядре.

Экономика

В отрасли имеются две фирмы № 1 и № 2. Каждая из фирм может установить два уровня цен: «высокие» и «низкие». Если обе фирмы выберут высокие цены, то каждая будет иметь прибыль по 3 млн. Если обе выберут низкие, то каждая получит по 2 млн. Однако, если одна выберет высокие, а другая низкие, то вторая получит 4 млн, а первая только 1 млн. Наиболее выигрышный в сумме вариант — одновременный выбор высоких цен (сумма = 6 млн). Однако это состояние (при отсутствии картельного сговора) нестабильно из-за возможности относительного выигрыша, которая открывается перед фирмой, отступившей от этой стратегии. Поэтому обе компании с наибольшей вероятностью выберут низкие цены. Хотя этот вариант и не даёт максимального суммарного выигрыша (сумма = 4 млн), он исключает относительный выигрыш конкурента, который тот мог бы получить за счёт отступления от взаимно-оптимальной стратегии. Такая ситуация и называется «равновесием по Нэшу».

В модели олигополии Штакельберга для двух фирм-участников бескоалиционной игры можно принять, что существует две стратегии: 1. дуополист Курно (K) и дуополист Штакельберга (S), то есть S-стратег. Таким образом для двух игроков возможны следующие стратегии:

(K1;K2) (K1;S2);(K2;S1);(S1;S2). Как следует из построения модели прибыль при выборе стратегии S: ${\displaystyle \pi ^{1}={\frac {(a-c)^{2}}{8b}}}$, а при выборе стратегии K: ${\displaystyle \pi ^{2}={\frac {(a-c)^{2}}{16b}}}$, видно, что максимальный выигрыш первого игрока реализуется в ситуации (S1;K2), а второго (K1;S2). Так как эти ситуации несовместимы, то есть не могут реализоваться одновременно, то получить максимальный выигрыш оба игрока одновременно не могут. В данном случае оптимальным поведением обоих игроков будет выбор стратегии S, так как в этом случае стратегия S лучше стратегии K с точки зрения минимального возможного выигрыша. В данном случае выбор (S1;S2) является равновесием по Нэшу. Односторонее отклонение от данной стратегии автоматически уменьшает выигрыш любого из игроков, при этом суммарный выигрыш в данном типе равновесия меньше суммарного выигрыша при выборе стратегии (K1;K2) обоими игроками. Однако в условиях данной модели при отсутствии обмена информацией между игроками отклонение от равновесия по Нэшу не будет реализовано в виду повышенного риска того, что второй игрок может воспользоваться ситуацией и не выбрать стратегию K.

Военное дело

Концепция взаимного гарантированного уничтожения. Ни одна из сторон, владеющих ядерным оружием, не может ни безнаказанно начать конфликт, ни разоружиться в одностороннем порядке.

См. также

• Эффективность по Парето
• Парадокс Бертрана
• Эволюционно стабильная стратегия

Примечания

1. Univertv — Равновесие Нэша: шоппинг, репутация, голосование Архивная копия от 13 декабря 2009 на Wayback Machine.
2. Джеймс С. Коулман. Экономическая социология с точки зрения теории рационального выбора (рус.) // Экономическая социология : электронный журнал. — 2004. — Т. 5, № 3. — С. 35—44. Архивировано 9 августа 2017 года.
3. «Nash’s Nobel prize» Архивная копия от 26 мая 2015 на Wayback Machine, The Economist, 24 May 2015.

Литература

1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М.: МГУ, 2005, 272 с. ISBN 5-317-01388-7.
2. Воробьёв Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. — М.: Наука, 1985
3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения. — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.