Равноускоренное движение - NiNa.Az

Равноуско́ренное движе́ние — движение тела, при котором его ускорение ${\displaystyle {\vec {a}}}$ постоянно по модулю и направлению.

Равноускоренное движение в поле тяжести Земли. На рисунке видно, что перемещение складывается из прямолинейного равномерного движения и свободного падения

Скорость при этом определяется формулой

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t}$,

где ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ — начальная скорость тела, ${\displaystyle t}$ — время. Траектория имеет вид участка параболы или прямой.

Примером такого движения является полёт камня, брошенного под углом ${\displaystyle \alpha }$ к горизонту в однородном поле силы тяжести: камень летит с постоянным ускорением ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {g}}}$, направленным вертикально вниз.

Частным случаем равноускоренного движения является равнозамедленное, когда векторы ${\displaystyle {\vec {v}}}$ и ${\displaystyle {\vec {a}}}$ противонаправлены, а модуль скорости равномерно уменьшается со временем (в примере с камнем реализуется для ${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$ при подъёме).

Характер равноускоренного движения

Равноускоренное движение происходит в плоскости, содержащей векторы ускорения ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и начальной скорости ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$. С учётом того, что ${\displaystyle {\vec {v}}={\rm {d}}{\vec {r}}/{\rm {d}}t}$ (здесь ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор), траектория описывается выражением

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {{\vec {a}}t^{2}}{2}}}$.

На заданном интервале времени она представляет собой участок параболы, который при параллельности (то есть со или противо- направленности) векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ превращается в отрезок прямой.

Для каждой из координат, скажем ${\displaystyle y}$, могут быть записаны аналогичные по структуре выражения:

${\displaystyle y(t)=y_{0}+v_{0y}t+{\frac {a_{y}t^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle a_{y}}$ — составляющая ускорения вдоль оси ${\displaystyle y}$, а ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}=x_{0}{\vec {i}}+y_{0}{\vec {j}}+z_{0}{\vec {k}}}$ — радиус-вектор материальной точки в момент ${\displaystyle t=0}$ (${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — орты).

В примере с камнем ${\displaystyle x_{0}=y_{0}=z_{0}=0}$, компоненты ускорения ${\displaystyle a_{x}=a_{z}=0}$, ${\displaystyle a_{y}=-g}$, начальной скорости ${\displaystyle v_{x0}=v_{0}\cos \alpha }$, ${\displaystyle v_{y0}=v_{0}\sin \alpha }$, ${\displaystyle v_{z0}=0}$, при этом ${\displaystyle x(t)=v_{0x}t}$, а значит, ${\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha \cdot x-g/2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha \cdot x^{2}}$.

Перемещение и скорость

В случае равноускоренного движения любая из компонент скорости, например ${\displaystyle v_{x}}$, зависит от времени линейно:

${\displaystyle v_{x}=v_{0x}+a_{x}t}$.

При этом имеет место следующая связь между перемещением (${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$) вдоль координаты ${\displaystyle x}$ и скоростью вдоль той же координаты:

${\displaystyle \Delta x={\frac {v_{x}^{2}-v_{0x}^{2}}{2a_{x}}}}$.

Отсюда можно получить выражение для ${\displaystyle x}$-составляющей конечной скорости тела при известных ${\displaystyle x}$-составляющих начальной скорости и ускорения:

${\displaystyle v_{x}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+2a_{x}\Delta x}}}$.

Если ${\displaystyle a_{x}=0}$, то ${\displaystyle v_{x}=v_{ox}}$, а ${\displaystyle \Delta x=v_{0x}t}$.

Выражения для смещений ${\displaystyle \Delta y}$, ${\displaystyle \Delta z}$ и компонент скорости вдоль координат ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ принимают точно такой же вид, как для ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle v_{x}}$, но символ ${\displaystyle x}$ всюду заменяется на ${\displaystyle y}$ или ${\displaystyle z}$.

Суммарно, по теореме Пифагора, перемещение составит

${\displaystyle |\Delta {\vec {r}}|={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}}$,

а модуль конечной скорости находится как

${\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$.

Равноускоренное движение не может происходить неограниченно долго: это означало бы, что, начиная с какого-то момента времени ${\displaystyle t}$, модуль скорости тела ${\displaystyle |{\vec {v}}|}$ превысит величину скорости света в вакууме ${\displaystyle c}$, что исключается теорией относительности.

Условие осуществления

Равноускоренное движение реализуется при действии на тело (материальную точку) постоянной силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$, обычно в однородном гравитационном или электростатическом поле, если величина скорости тела значительно меньше, чем скорость света ${\displaystyle c}$. Тогда, по второму закону Ньютона, ускорение составит

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}},}$

где через ${\displaystyle m}$ обозначена масса тела. В примере с камнем роль ${\displaystyle {\vec {F}}}$ играет сила тяжести.

Если же скорость тела сопоставима со скоростью света, то закон Ньютона в выписанном виде неприменим. При этом, в случае действия постоянной силы, происходит так называемое релятивистски равноускоренное движение, при котором постоянно только собственное ускорение, а ускорение в фиксированной ИСО приближается к нулю со временем по мере приближения величины скорости к её пределу ${\displaystyle c}$.

Теорема о кинетической энергии точки

Формула перемещения при равноускоренном движении используется при доказательстве теоремы о кинетической энергии. Для этого необходимо перенести ускорение в левую часть и домножить обе части на массу тела:

${\displaystyle ma_{x}\Delta x={\frac {mv_{x}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0x}^{2}}{2}}}$.

Записав аналогичные соотношения для координат ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ и просуммировав все три равенства, получим соотношение:

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {r}}={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {mv_{0}^{2}}{2}}}$.

Слева стоит работа постоянной равнодействующей силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$, а справа — разность кинетических энергий в конечный и начальный моменты движения. Полученная формула представляет собой математическое выражение теоремы о кинетической энергии точки для случая равноускоренного движения.

Равнопеременное движение

Равнопеременным называется движение, при котором тангенциальная (параллельная скорости) составляющая ускорения постоянна. Такое движение не является равноускоренным, кроме ситуации, когда оно происходит по прямой, но в математическом плане может быть рассмотрено аналогично.

В этом случае вводится обобщённая координата ${\displaystyle S}$, часто называемая путём, соответствующая длине пройденной траектории (длине дуги кривой). Таким образом, формула приобретает вид:

${\displaystyle \Delta S={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a_{\tau }}}}$,

где ${\displaystyle a_{\tau }}$ — тангенциальное ускорение, «отвечающее» за изменение модуля скорости тела. Для скорости получаем:

${\displaystyle v=\pm {\sqrt {v_{0}^{2}+2a_{\tau }\Delta S}}}$.

При ${\displaystyle a_{\tau }=0}$ имеем движение с постоянной по модулю скоростью.

Иногда прилагательное равнопеременное заменяют на криволинейное равноускоренное, что вносит путаницу, так как, скажем, равноускоренное движение камня по кривой (параболе) в поле тяжести не равнопеременное.

См. также

Равноускоренное движение

• Релятивистски равноускоренное движение

Примечания

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит, 2005. — Т. I. Механика. — С. 37. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — 11-е изд. — М.: «Высшая школа», 1995. — С. 214. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
3. См. Физический энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, под. ред. А. М. Прохорова (1983), статья «Равнопеременное движение», стр. 602.