Распределение вероятностей - NiNa.Az

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и соответствующие вероятности появления этих значений.

Определение

Пусть задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, и на нём определена случайная величина ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$. В частности, по определению, ${\displaystyle X}$ является измеримым отображением измеримого пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ в измеримое пространство ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$, где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ обозначает борелевскую сигма-алгебру на ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Тогда случайная величина ${\displaystyle X}$ индуцирует вероятностную меру ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ следующим образом:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (\{\omega :X(\omega )\in B\}),\;\forall B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}$

Мера ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ называется распределением случайной величины ${\displaystyle X}$. Иными словами, ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)}$, таким образом ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)}$ задаёт вероятность того, что случайная величина ${\displaystyle X}$ попадает во множество ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$.

Классификация распределений

Функция ${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x))=\mathbb {P} (X<x)}$ называется функцией распределения случайной величины ${\displaystyle X}$. Из свойств вероятности вытекает теорема:

Функция распределения ${\displaystyle F_{X}(x)}$ любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. ${\displaystyle F_{X}(x)}$ — функция неубывающая;
2. ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1}$;
3. ${\displaystyle F_{X}}$ непрерывна слева.

Теорема:

Если функция ${\displaystyle F(x)}$ удовлетворяет перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что ${\displaystyle F(x)}$ является её функцией распределения.

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы их задания. В то же время распределения (и случайные величины) принято классифицировать по характеру функций распределения.

Дискретные распределения

Случайная величина ${\displaystyle X}$ называется простой или дискретной, если она принимает не более чем счётное, конечное число значений. То есть ${\displaystyle X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}}$, где ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — разбиение ${\displaystyle \Omega }$.

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся: ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)=\sum _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})}$. Введя обозначение ${\displaystyle p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})}$, можно задать функцию ${\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}$. В силу свойств вероятности ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$. Используя счётную аддитивность ${\displaystyle \mathbb {P} }$, легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение ${\displaystyle X}$.

Набор вероятностей ${\displaystyle p(a_{i})=p_{i}}$, где ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$ называется распределением вероятностей дискретной случайной величины ${\displaystyle X}$. Совокупность значений ${\displaystyle a_{i},i=1,2...\infty }$ и вероятностей ${\displaystyle p_{i},i\in {1,2...\infty }}$ называется дискретным законом распределения вероятностей.

Для иллюстрации сказанного выше, рассмотрим следующий пример.

Пусть функция ${\displaystyle p}$ задана таким образом, что ${\displaystyle p(-1)={\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle p(1)={\frac {1}{2}}}$. Эта функция задаёт распределение случайной величины ${\displaystyle X}$, для которой ${\displaystyle \mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$ (см. распределение Бернулли, где случайная величина принимает значения ${\displaystyle 0,1}$). Случайная величина ${\displaystyle X}$ является моделью подбрасывания уравновешенной монеты.

Другими примерами дискретных случайных величин являются распределения

• Пуассона
• биномиальное
• геометрическое

Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

1. ${\displaystyle p_{i}\geqslant 0}$,
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$, если множество значений является конечным — из свойств вероятности,
3. Функция распределения ${\displaystyle F_{X}(x)}$ имеет конечное или счётное множество точек разрыва первого рода,
4. Если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка непрерывности ${\displaystyle F_{X}(x)}$, то ${\displaystyle {\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0}$.

Решётчатые распределения

Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида ${\displaystyle a+nh}$, где ${\displaystyle a}$ - вещественное, ${\displaystyle h>0}$, ${\displaystyle n}$ — целое.

Теорема. Для того, чтобы функция распределения ${\displaystyle F}$ была решётчатой с шагом ${\displaystyle h}$, необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция ${\displaystyle f}$ удовлетворяла соотношению ${\displaystyle |f(2\pi /h)|=1}$.

Абсолютно непрерывные распределения

Основная статья: Плотность вероятности

Распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция, такая что

${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx}$.

Тогда функция ${\displaystyle f_{X}}$ называется плотностью распределения вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$.

Функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Примерами абсолютно непрерывных распределений являются

• нормальное
• равномерное
• экспоненциальное
• распределение Коши.

Пример. Пусть ${\displaystyle f(x)=1}$, когда ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$, и ${\displaystyle f(x)=0}$ в противном случае. Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a}$, если ${\displaystyle (a,b)\subset [0,1]}$.

Для любой плотности распределения ${\displaystyle f_{X}}$ верны свойства:

1. ${\displaystyle f_{X}(x)\geqslant 0}$;
2. ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1}$.

Верно и обратное. Если

1. ${\displaystyle f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R} }$;
2. ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1}$,

то существует распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ такое, что ${\displaystyle f(x)}$ является его плотностью.

Применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к следующим соотношениям между функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения:

${\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt}$.

Теорема. Если ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывная плотность распределения, а ${\displaystyle F(x)}$ — его функция распределения, то

1. ${\displaystyle F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,}$
2. ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$.

При построении распределения на основе эмпирических данных следует избегать ошибок округления.

Сингулярные распределения

Основная статья: Сингулярное распределение

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют величины, не являющиеся ни дискретными, ни непрерывными ни на одном интервале. К таким случайным величинам относятся величины функции распределения которых непрерывны, но возрастают только на множестве лебеговой меры нуль.

Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры, обычно меры Лебега.

Таблица основных распределений

Дискретные распределения

Название	Обозначение	Параметр	Носитель	Плотность (последовательность вероятностей)	Матем. ожидание	Дисперсия	Характеристическая функция
Дискретное равномерное	${\displaystyle {\text{R}}\{1,\dots ,N\}}$	${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$	${\displaystyle \{1,\dots ,N\}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N}},k\in \{1,\dots ,N\}}$	${\displaystyle {\frac {N+1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {N^{2}-1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it})}}}$
Бернулли	${\displaystyle {\text{Bern}}(p)}$	${\displaystyle p\in (0,1)}$	${\displaystyle \{0,1\}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p(1-p)}$	${\displaystyle pe^{it}+1-p}$
Биноминальное	${\displaystyle {\text{Bin}}(n,p)}$	${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)}$	${\displaystyle \{0,\dots ,n\}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$	${\displaystyle np}$	${\displaystyle np(1-p)}$	${\displaystyle (pe^{it}+1-p)^{n}}$
Пуассоновское	${\displaystyle {\text{Pois}}(\lambda )}$	${\displaystyle \lambda >0}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}}$
Геометрическое	${\displaystyle {\text{Geom}}(p)}$	${\displaystyle p\in (0,1]}$	${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p}$	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}}$

Абсолютно непрерывные распределения

Название	Обозначение	Параметр	Носитель	Плотность вероятности ${\displaystyle f(x)}$	Функция распределения F(х)	Характеристическая функция	Математическое ожидание	Медиана	Мода	Дисперсия	Коэффициент асимметрии	Коэффициент эксцесса	Дифференциальная энтропия	Производящая функция моментов
Равномерное непрерывное	${\displaystyle U(a,b)}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b}$, ${\displaystyle a}$ — коэффициент сдвига, ${\displaystyle b-a}$ — коэффициент масштаба	${\displaystyle [a,b]}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{b-a}}I\{x\in [a,b]\}}$	${\displaystyle {\dfrac {x-a}{b-a}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}}$	${\displaystyle {\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$	любое число из отрезка ${\displaystyle [a,b]}$	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {6}{5}}}$	${\displaystyle \ln(b-a)}$	${\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$
Нормальное (гауссовское)	${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$— коэффициент сдвига, ${\displaystyle \sigma >0}$ — коэффициент масштаба	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right)}$	${\displaystyle e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \sigma ^{2}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)}$	${\displaystyle e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}$
Логнормальное	${\displaystyle LN(\mu ,\sigma ^{2})}$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0}$	${\displaystyle (0;+\infty )}$	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$	${\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$	${\displaystyle e^{\mu }}$	${\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}}$	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$	${\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}}$	${\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu }$	${\displaystyle e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.}$
Гамма-распределение	${\displaystyle \Gamma (\alpha ,\beta )}$	${\displaystyle \alpha >0,\beta >0}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta }x^{\beta -1}}{\Gamma (\beta )}}e^{-\alpha x}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\gamma (\beta ,\alpha x)}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }}$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}}$		${\displaystyle {\frac {\beta -1}{\alpha }}}$ при ${\displaystyle \beta \geq 1}$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\beta }}}}$	${\displaystyle {\frac {6}{\beta }}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta )\\&+(1-\beta )\psi (\beta )\end{aligned}}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }}$ при ${\displaystyle t<\alpha }$
Экспоненциальное	${\displaystyle {\text{Exp}}(\lambda )}$	${\displaystyle \lambda >0}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\}}$	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}$	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -it}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$	${\displaystyle \ln(2)/\lambda }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \lambda ^{-2}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 1-\ln(\lambda )}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}}$
Лапласа	${\displaystyle {\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )}$	${\displaystyle \alpha >0}$ — коэффициент масштаба, ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$ — коэффициент сдвига	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}\,e^{-\alpha |x-\beta |}}$	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }}$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \ln {\frac {2e}{\alpha }}}$	${\displaystyle {\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ для }}|t|<1/\alpha }$
Коши	${\displaystyle {\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )}$	${\displaystyle x_{0}}$ — коэффициент сдвига, ${\displaystyle \gamma >0}$ — коэффициент масштаба	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathrm {arctg} \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|}}$	нет	${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle x_{0}}$	${\displaystyle +\infty }$	нет	нет	${\displaystyle \ln(4\,\pi \,\gamma )}$	нет
Бета-распределение	${\displaystyle {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$	${\displaystyle \alpha >0,\beta >0}$	${\displaystyle [0,1]}$	${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{{\text{B}}(\alpha ,\beta )}}}$	${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$	${\displaystyle I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}}$ для ${\displaystyle \alpha ,\beta >1}$	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$ для ${\displaystyle \alpha >1,\beta >1}$	${\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$	${\displaystyle 6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$		${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
хи-квадрат	${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$	${\displaystyle k>0}$ — число степеней свободы	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}$	${\displaystyle {\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}$	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$	${\displaystyle k}$	примерно ${\displaystyle k-2/3}$	${\displaystyle k-2}$ если ${\displaystyle k\geq 2}$	${\displaystyle 2\,k}$	${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$	${\displaystyle 12/k}$	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)}$	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$, если ${\displaystyle 2\,t<1}$
Стьюдента	${\displaystyle {\text{t}}(n)}$	${\displaystyle n>0}$ — число степеней свободы	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {n+1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}|t|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}|t|\right)^{n/2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1}}}}$ для ${\displaystyle n>0}$	${\displaystyle 0}$, если ${\displaystyle n>1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {n}{n-2}}}$, если ${\displaystyle n>2}$	${\displaystyle 0}$, если ${\displaystyle n>3}$	${\displaystyle {\frac {6}{n-4}}}$, если ${\displaystyle n>4}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$	Нет
Фишера	${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$	${\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0}$ — числа степеней свободы	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}}$	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}})}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}}$, если ${\displaystyle d_{2}>2}$		${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$, если ${\displaystyle d_{1}>2}$	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}},}$ если ${\displaystyle d_{2}>4}$	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},}$ если ${\displaystyle d_{2}>6}$	${\displaystyle 12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}}$	${\displaystyle \ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!}$ ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}$ ${\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!}$
Рэлея	${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$	${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}}}}$	${\displaystyle 1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$	${\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sigma }$	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}}}$	${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle \left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$	${\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}$
Вейбулла	${\displaystyle \mathrm {W} (k,\lambda )}$	${\displaystyle \lambda >0}$ — коэффициент масштаба, ${\displaystyle k>0}$ — коэффициент формы	${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}}$	${\displaystyle 1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}$	${\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)}$	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k}}$	${\displaystyle {\frac {\lambda (k-1)^{\frac {1}{k}}}{k^{\frac {1}{k}}}},}$ для ${\displaystyle k>1}$	${\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}}$