Ряд Лорана - NiNa.Az

Ряд Лора́на (или разложение Лорана, представление Лорана) комплексной функции в кольце — понятие комплексного анализа, раздела математики, представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями.

Круговое кольцо сходимости ряда Лорана

Ряд Лорана можно понимать как обобщение некоторого ряда комплексной функции в окрестности точки ${\displaystyle z=z_{0}}$, расположенного либо только по целым неотрицательным степеням разности комплексных чисел ${\displaystyle z-z_{0}}$ (степенного ряда), либо только по целым неположительным степеням ${\displaystyle z-z_{0}}$ в следующем виде:

${\displaystyle \sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}+\sum \limits _{k=-1}^{-\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=}$

${\displaystyle =c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+c_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots +{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}+{\frac {c_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+\cdots }$.

Ряд Лорана сходится абсолютно и равномерно в некотором круговом кольце ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$ и является в этом кольце аналитической функцией. Но множество точек сходимости ряда Лорана может быть больше открытого кольца на некоторое множество точек его границы.

Определение

1. Конечная точка. Ряд Лорана в конечной точке ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ — функциональный ряд по целым степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ над полем комплексных чисел:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},\quad }$ где переменная ${\displaystyle z\in {\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\}}$, а коэффициенты ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

1. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ — часть по неотрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$,
2. ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ — часть по отрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$.

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если ${\displaystyle A_{z_{0}}\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{z_{0}\})}$ — область сходимости ряда Лорана такая, что ${\displaystyle z_{0}\in \partial {A_{z_{0}}}}$, то для ${\displaystyle A_{z_{0}}}$

ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ называется правильной частью,

ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ называется главной частью.

2. Бесконечно удалённая точка. Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке ${\displaystyle z_{0}=\infty \in {\overline {\mathbb {C} }}}$ — функциональный ряд по целым степеням ${\displaystyle z}$ над полем комплексных чисел:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad }$ где переменная ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, а коэффициенты ${\displaystyle c_{n}\in \mathbb {C} }$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

По внешнему виду ряд для ${\displaystyle z_{0}=\infty }$ совпадает с рядом для ${\displaystyle z_{0}=0}$, однако с формальной точки зрения получен с помощью замены ${\displaystyle z\leftrightarrow {\frac {1}{\zeta }}}$ для ${\displaystyle \zeta _{0}=0}$.

Если ${\displaystyle A_{\infty }\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\})}$ — область сходимости ряда Лорана такая, что ${\displaystyle \infty \in \partial {A_{\infty }}}$, то для ${\displaystyle A_{\infty }}$

ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{0}c_{n}z^{n}}$ называется правильной частью,

ряд ${\displaystyle \sum _{n=+1}^{+\infty }{c_{n}}{z^{n}}}$ называется главной частью.

Свойства

• Часть по положительным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ сходится во внутренности ${\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}}$ круга радиуса ${\displaystyle R={\dfrac {1}{{\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{n}|^{1/n}}}\in [0;+\infty ]}$,

часть по отрицательным степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$ сходится во внешности ${\displaystyle \Delta _{r}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {D}}_{r}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z-z_{0}|>r\}}$ круга ${\displaystyle D_{r}}$ радиуса ${\displaystyle r={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|c_{-n}|^{1/n}\in [0;+\infty ]}$.

Поэтому, если ${\displaystyle r<R\,}$, то внутренность ${\displaystyle A}$ области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

${\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}=\Delta _{r}\cap D_{R}}$.

• Поведение ряда Лорана в точках граничной окружности ${\displaystyle C_{R}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=R\}}$ зависит только от ${\displaystyle \sum _{n=n_{s}}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}}$ для произвольного ${\displaystyle n_{s}\in \mathbb {N} }$,

а в точках граничной окружности ${\displaystyle C_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=r\}}$ — только от ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}}$ для произвольного ${\displaystyle n_{s}\in \mathbb {N} }$.

Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца ${\displaystyle A}$ может быть разнообразным.

• Во всех точках кольца ${\displaystyle A}$ ряд Лорана сходится абсолютно.
• На любом компактном подмножестве ${\displaystyle K\subset A}$ ряд сходится равномерно.
• Для каждой точки ${\displaystyle \zeta _{0}\in A}$ существует такое значение ${\displaystyle \rho (\zeta _{0})=\min\{{\textrm {dist}}(C_{r}(z_{0}),\zeta _{0}),{\textrm {dist}}(C_{R}(z_{0}),\zeta _{0})\}>0}$, что ${\displaystyle D_{\rho }(\zeta _{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-\zeta _{0}|<\rho (\zeta _{0})\}\subset A}$, и ряд Лорана ${\displaystyle f(z)}$ может быть записан в виде сходящегося в ${\displaystyle D_{\rho }(\zeta _{0})}$ ряда по степеням ${\displaystyle (z-\zeta _{0})}$:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{+\infty }t_{k}(\zeta _{0})(z-\zeta _{0})^{k},\quad }$ где ${\displaystyle z\in D_{\rho }(\zeta _{0})}$, а ${\displaystyle t_{k}(\zeta _{0})={\frac {f^{(k)}(\zeta _{0})}{k!}}}$ для ${\displaystyle k\in \{0\}\cup \mathbb {N} }$,

т.е. ${\displaystyle \zeta _{0}}$ является для ${\displaystyle f(z)}$ правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в ${\displaystyle A}$ есть аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$.

• Для ${\displaystyle 0<r<R<+\infty }$ на граничных окружностях кольца сходимости ${\displaystyle A}$ существуют непустые множества ${\displaystyle I_{r}\subseteq C_{r}(z_{0})}$, ${\displaystyle I_{R}\subseteq C_{R}(z_{0})}$ точек, не являющихся для ${\displaystyle f(z)}$ правильными.
• Ряд Лорана можно дифференцировать на любом компактном ${\displaystyle K\subset A}$ почленно.
• Интегрирование ряда Лорана даёт однозначную в ${\displaystyle A}$ функцию только при ${\displaystyle c_{-1}=0}$, поскольку для любого ${\displaystyle \rho >0}$ значение ${\displaystyle \int \limits _{\;\,|z-z_{0}|=\rho }c_{n}(z-z_{0})^{n}\cdot dz=\left\{{\begin{array}{ll}c_{-1}\cdot 2\pi i\,,&n=-1\,;\\0\,,&n\neq -1\,.\end{array}}\right.}$

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\,}$, представляющий в двусвязной области ${\displaystyle A}$ функцию ${\displaystyle f(z)-{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}\,}$, для любого компактного ${\displaystyle K\subset A}$ и любой спрямляемой ориентированной кривой ${\displaystyle \gamma \subset K}$ можно интегрировать по ${\displaystyle \gamma }$ почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек ${\displaystyle \gamma }$ и не зависит от формы кривой ${\displaystyle \gamma }$.

• Коэффициенты ${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ряда Лорана ${\displaystyle f(z)}$ удовлетворяют соотношениям

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z-z_{0}|=\rho }{\frac {f(z)\,dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном ${\displaystyle K\subset A}$ и один раз обходящая против часовой стрелки точку ${\displaystyle z_{0}}$. В частности, в качестве ${\displaystyle \gamma }$ можно взять любую окружность ${\displaystyle C_{\rho }=\{z_{0}+\rho e^{it}\mid t\in [0;2\pi ]\}}$ радиуса ${\displaystyle \rho \in (r;R)}$ с центром в ${\displaystyle z_{0}}$, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр ${\displaystyle t}$ должен возрастать).

• Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если для двух рядов Лорана по степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$, сходящихся в ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ соответственно, совпадают их суммы на некоторой окружности ${\displaystyle C_{\rho }=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|=\rho \}\subset (A_{1}\cap A_{2})}$ или на гомотопной ей по ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ спрямляемой кривой ${\displaystyle \gamma \sim C_{\rho }}$, то совпадают все коэффициенты этих рядов.

Теорема Лорана

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана.

Любая функция ${\displaystyle f(z)}$, являющаяся однозначной и аналитической в кольце ${\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z-z_{0}|<R\leq +\infty \}}$, представима в ${\displaystyle A}$ сходящимся рядом Лорана по степеням ${\displaystyle (z-z_{0})}$.

Представление однозначной аналитической функции ${\displaystyle f(z)}$ в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности ${\displaystyle A_{z_{0}}}$ изолированной особой точки:

1) если точка ${\displaystyle z_{0}\neq \infty }$, то существует радиус ${\displaystyle R_{z_{0}}\in (0;+\infty ]}$ такой, что в проколотой окрестности

${\displaystyle A_{z_{0}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}\}\quad }$

функция ${\displaystyle f(z)}$ представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка ${\displaystyle z_{0}=\infty }$, то существует радиус ${\displaystyle r_{\infty }\in [0;+\infty )}$ такой, что в проколотой окрестности

${\displaystyle A_{\infty }=\{z\in \mathbb {C} \mid r_{\infty }<|z|<\infty \}}$

функция ${\displaystyle f(z)}$ представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки ${\displaystyle z_{0}}$ определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности ${\displaystyle A_{z_{0}}}$:

• Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
• Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
• Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Связь рядов Лорана и Фурье

Рассмотрим связь между рядами Лорана и рядами Фурье. Определим ряд Фурье некоторой функции ${\displaystyle \varphi }$, которая интегрируема на отрезке ${\displaystyle [0,\,2\pi ]\subset \mathbb {R} }$, как следующий функциональный ряд:

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nt+b_{n}\sin nt)}$,

где

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)\cos ntdt,\,\,}$ ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)\sin ntdt,\,\,}$ ${\displaystyle n=0,\,1,\,\dots ,\,\,}$ ${\displaystyle b_{0}=0.}$

Перепишем этот ряд Фурье в комплексной форме. Используем формулы Эйлера

${\displaystyle \cos nt={\frac {e^{int}+e^{-int}}{2}}}$, ${\displaystyle \,\,\sin nt={\frac {e^{int}+e^{-int}}{2i}}}$,

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}e^{int}+{\frac {a_{n}+ib_{n}}{2}}e^{-int}\right)=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int}}$,

где

${\displaystyle c_{n}={\frac {a_{n}-ib_{n}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt,\,\,}$ ${\displaystyle n=0,\,1,\,\dots ,}$

${\displaystyle c_{n}={\frac {a_{-n}-ib_{-n}}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt,\,\,}$ ${\displaystyle n=-1,\,-2,\,\dots ,}$

получаем, что ряд

${\displaystyle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int}}$

с коэффициентами

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\varphi (t)e^{-int}dt}$

и есть ряд Фурье исходной функции ${\displaystyle \varphi }$, переписанный в комплексной форме.

Наконец, положим

${\displaystyle e^{it}=z}$, ${\displaystyle \,\,dz=zidt}$, ${\displaystyle \,\,\varphi (t)=f(e^{it})=f(z)}$,

тогда ряд Фурье запишется в форме ряда Лорана

${\displaystyle \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}}$

со следующими коэффициентами:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(e^{it})e^{-int}dt={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|z|=1}f(z){\frac {dz}{z^{n+1}}}}$.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Комплексная форма ряда Фурье функции ${\displaystyle \varphi (t)}$, ${\displaystyle t\in [0,\,2\pi ]}$, есть ряд Лорана функции ${\displaystyle f(z)=\varphi (t)}$, где ${\displaystyle z=e^{it}}$, на единичной окружности ${\displaystyle \{|z|=1\}}$.

Естественно, что верна и обратная теорема.

Теорема 2. Ряд Лорана комплексной функции ${\displaystyle f(z)=\varphi (t)}$ на единичной окружности ${\displaystyle \{|z|=1\}}$ есть комплексная форма ряда Фурье функции ${\displaystyle f(e^{it})=\varphi (t)}$, ${\displaystyle t\in [0,\,2\pi ]}$.

Замечание. В общем случае, даже когда ряд Фурье сходится к функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ в любой точке отрезка ${\displaystyle [0,\,2\pi ]}$, то для соответствующего ряда Лорана может оказаться ${\displaystyle R=r=1}$, то есть область его сходимости пуста. Оказывается, только при некоторых строгих условиях для функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ у соответствующего ряда Лорана область сходимости будет непуста.

Историческая справка

Ряды, аналогичные ряду Лорана, встречаются уже в 1748 году у швейцарского, прусского и российского математика Л. Эйлера. Тем не менее такие ряды получили своё название по имени французского математика П. Лорана, доказавшего в 1843 году свою теорему. Более того, ту же теорему получил немного ранее немецкий математик К. Вейерштрасс, однако эта его работа была опубликована только в 1894 году.

Примечания

1. Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи
2. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава VI. Изолированные особые точки… § 3. Поведение аналитической функции в бесконечности, с. 222.
3. Титчмарш Э. Ч. Теория функций, 1980, 2.7. Ряд Лорана, с. 100.
4. Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables, 2011, 2.7 Multiple Laurent series…, p. 38, 39.
5. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 129.
6. Соломенцев Е. Д. Лорана ряд, 1982, стб. 450.
7. Лорана ряд. БСЭ 3, 1974.
8. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1, 1967, Глава четвёртая. Различные ряды…. § 2. Ряд Лорана…, с. 376—377.
9. Евграфов М. А. Аналитические функции, 1991, Глава IV. Особые точки и разложение в ряды. § 4. Вычеты и ряд Лорана, с. 152.
10. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 1, 1967, Глава четвёртая. Различные ряды…. § 2. Ряд Лорана…, с. 378.
11. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 130.
12. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 133.
13. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 133—134.
14. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Т. 1, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 134.

Источники

• Евграфов М. А. Аналитические функции: Учеб. пособие для вузов (рус.). — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: «Наука», 1991. — 447 с., ил. — ISBN 5-02-014200-X.
• Лорана ряд // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) (рус.) / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1974. — Т. 15 Ломбард — Мезитол. — С. 23. — 632 с., ил., 27 л. ил., 2 л. карт, 1 карта-вкладка. — 629 тыс. экз.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций (рус.). — 2-е изд. — М.: «Наука», 1967. — Т. 1. — 486 с., ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник (рус.). — 15-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 432 с., ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — 1500 экз. — ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Соломенцев Е. Д. Лорана ряд // Математическая энциклопедия (рус.) / гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1982. — Т. 3 Коо—Од. — Стб. 450—451. — 1184 стб., ил. — 150 000 экз.
• Титчмарш Э. Ч. Теория функций = Titchmarsh E. C. The theory of functions (2nd ed. 1939) (рус.) / пер. с англ. В. А. Рохлина. — 2-е изд. — М.: «Наука», 1980. — 463 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ (рус.). — 2-е изд, перераб. и доп. — М.: «Наука», 1976. — Т. 1. — 320 с., ил. — 20 000 экз.
• ^[англ.], Jan Wiegerinck. Several complex variables (англ.). — Amsterdam: University of Amsterdam, 2011. — V+260 p.