Составное число - NiNa.Az

Составно́е число́ — натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Каждое составное число является произведением двух или более натуральных чисел, бо́льших единицы. Все натуральные числа делятся на три непересекающиеся категории: простые, составные и единица.

Натуральные числа от нуля до ста. Составные числа отмечены зелёным.

Начало последовательности составных чисел (A002808):

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, ...

Связанные понятия

Каждое натуральное число, большее единицы, имеет по крайней мере два делителя, которые называются тривиальными: единицу и самого себя. Число является составным, если оно имеет нетривиальные делители.

Составное натуральное число называется:

• полупростым, если его можно представить в виде произведения двух простых чисел (не обязательно различных);
• сфеническим, если его можно представить в виде произведения трёх различных простых чисел;
• полнократным, если его можно представить в виде произведения ${\displaystyle a^{2}b^{3},}$ где ${\displaystyle a,b}$ — натуральные числа. Равносильное определение: число ${\displaystyle N}$ полнократно, если для любого его простого делителя ${\displaystyle p}$ число ${\displaystyle p^{2}}$ также является делителем ${\displaystyle N}$;
• сверхсоставным, если у него больше делителей, чем у любого меньшего числа (два первых сверхсоставных числа не являются составными, это 1 и 2).

Свойства

Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число может быть разложено в произведение простых множителей, причём единственным способом (с точностью до порядка множителей).

Покажем, что в натуральном ряду можно найти последовательности подряд идущих составных чисел любой длины. Пусть n — произвольное натуральное число. Обозначим:

${\displaystyle N=(n+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots \cdot (n+1).}$

Тогда n последовательных чисел ${\displaystyle N+2,N+3,N+4\dots N+(n+1)}$ содержит только составные числа: ${\displaystyle N+2}$ делится на 2, ${\displaystyle N+3}$ делится на 3 и т. д.

Разложение числа на множители

Чтобы определить, является ли заданное натуральное число ${\displaystyle N}$ простым или составным, надо найти его нетривиальные делители или доказать, что таких не существует. В случае небольшого ${\displaystyle N}$ поиск его делителей — несложная задача, для этого можно использовать признаки делимости или специальные алгоритмы, указанные в статьях Тест простоты и Факторизация целых чисел. Нахождение делителей больших чисел (актуальная задача криптографии) может оказаться проблемой, превышающей возможности современных компьютеров.

Вариации и обобщения

Понятия простого и составного числа можно определить не только для натуральных чисел, но и для других алгебраических структур; чаще всего рассматриваются коммутативные кольца без делителей нуля (области целостности).

Пример 1. Кольцо целых чисел содержит два делителя единицы (обратимых элемента): ${\displaystyle +1}$ и ${\displaystyle -1.}$ Поэтому все целые числа, за исключением делителей единицы, имеют не два, а по меньшей мере четыре тривиальных делителя; например, у числа 7 делителями являются ${\displaystyle 1;7;-1;-7.}$ В связи с этим формулировку основной теорему арифметики необходимо скорректировать: любое составное число может быть разложено в произведение простых множителей, причём единственным способом, с точностью до порядка множителей и делителей единицы.

Простые целые числа, как и прежде — это те, у которых нет нетривиальных делителей. Таким образом, кольцо целых чисел делится на три непересекающиеся части: простые, составные и делители единицы.

Пример 2. Кольцо гауссовых целых чисел образовано комплексными числами ${\displaystyle a+bi,}$ у которых ${\displaystyle a,b}$ — обычные целые числа. Для чисел такого вида можно определить деление нацело по общим правилам. Делителей единицы здесь четыре: ${\displaystyle 1;-1;i;-i.}$

Простые гауссовы числа — это часть обычных простых чисел и «простые гауссовы» (например, ${\displaystyle 1+i}$). См. критерий простоты гауссова числа. Простое натуральное число может не быть простым гауссовым; например, число 5 как гауссово число является составным: ${\displaystyle 5=(2+i)(2-i).}$ Основная теорема арифметики формулируется точно так же, как указано выше для целых чисел.

Пример 3. Кольцо многочленов ${\displaystyle R[x]}$ образовано многочленами с вещественными коэффициентами. Делителями единицы являются здесь ненулевые числовые константы (рассматриваемые как многочлены нулевой степени). Аналогами простых чисел здесь будут все неразложимые (неприводимые) многочлены, то есть многочлены 1-й степени и те многочлены 2-й степени, у которых нет вещественных корней (потому что их дискриминант отрицателен). Следовательно, аналогом составных чисел выступают все многочлены степени больше второй, а также многочлены второй степени с неотрицательным дискриминантом. И здесь основная теорема арифметики имеет место и формулируется точно так же, как указано выше для целых чисел.

Примечания

1. БРЭ, 2004—2017.
2. Элементарная математика, 1976, с. 20—21.
3. Элементарная математика, 1976, с. 21—22.
4. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1939. — С. 147—149. — 187 с.
5. Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — С. 122—124, 67—68. — 176 с.

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Составное число // Большая российская энциклопедия [Электронный ресурс]. — 2004—2017.

Ссылки

• Списки простых и факторизованных составных чисел