Сюръективное отображение - NiNa.Az

Сюръе́кция или сюръекти́вное отображе́ние (от фр. sur «на, над» + лат. jacio «бросаю») — отображение множества ${\displaystyle X}$ на множество ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (f\colon X\to Y)}$, при котором каждый элемент множества ${\displaystyle Y}$ является образом хотя бы одного элемента множества ${\displaystyle X}$, то есть ${\displaystyle \forall y\in Y\;\exists x\in X:y=f(x)}$; иными словами — функция, принимающая все возможные значения. Иногда говорят, что сюръективное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ отображает ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle Y}$ (инъективное отображение в общем случае отображает ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$).

Сюръективная функция

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ сюръективно тогда и только тогда, когда образ множества ${\displaystyle X}$ при отображении ${\displaystyle f}$ совпадает с ${\displaystyle Y}$: ${\displaystyle f(X)=Y}$. Также сюръективность функции ${\displaystyle f}$ эквивалентна существованию правого обратного отображения к ${\displaystyle f}$.

Строго говоря, понятие сюръекции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ привязано к множеству ${\displaystyle Y}$: корректно говорить вместо обычно допускаемой вольности речи «сюръекция» точное «сюръекция на ${\displaystyle Y}$». Фактически понятно, что каждое отображение является сюръекцией на свой образ: если ${\displaystyle Z=\{y:f(x)=y\}}$, то ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — сюръекция на ${\displaystyle Z}$, поскольку формально также ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ по определению отображения.

Понятие сюръекции (наряду с инъекцией и биекцией) введено в обиход в трудах Бурбаки и получило всеобщее распространение практически во всех разделах математики.

Примеры

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [-1;\;1],\;f(x)=\sin x}$ — сюръективно.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}}$ — сюръективно.
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}$ — не является сюръективным (например, не существует такого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle f(x)=-9}$).

Применение

• В топологии важное понятие расслоения определяется как произвольное непрерывное сюръективное отображение топологических пространств (расслоённого пространства в базу расслоения).
• Организация связи «многие к одному» между таблицами в сущностях реляционной модели данных может быть рассмотрена как сюръективная функция.

Обобщения

• В теории категории понятие сюръекции обобщено в понятии эпиморфизма, притом в некоторых категориях эти понятия совпадают.

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.