Таблица Кэли
Таблица Кэли — квадратная таблица, описывающая структуру конечной алгебраической системы и состоящая из результатов применения бинарной операции к её элементам. Названа в честь английского математика Артура Кэли, использовавшего её в теории групп. Имеет важное значение в дискретной математике.
Например, таблица Кэли для стандартной операции умножения на множестве имеет вид:
| × | 1 | −1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | −1 |
| −1 | −1 | 1 |
Такие таблицы позволяют прояснить некоторые свойства алгебраических систем, например, являются ли они коммутативными и имеют ли они нейтральный элемент, а если имеют, позволяют найти обратные элементы к данным.
В абстрактной алгебре таблицы Кэли используются для описания конечных групп, колец, полей и других алгебраических структур. Для бесконечных структур и структур с большим количеством элементов их использование нецелесообразно. В этом случае структуры чаще всего задают образующими и соотношениями.
История
Таблицы Кэли впервые появились в статье Кэли «On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1» в 1854 году. В этой статье это были просто таблицы, используемые в иллюстративных целях. Называть таблицами Кэли их стали позже в честь их создателя.
Структура
Поскольку таблицы Кэли используются для операций, не обязательно являющихся коммутативными, произведение ab может быть не равно произведению ba. Чтобы избежать путаницы, принимается, что множитель, соответствующий строкам, идёт первым, а множитель, соответствующий столбцам — вторым. Например, пересечение строки a и столбца b — это ab, а не ba, что показано в следующем примере:
| * | a | b | c |
|---|---|---|---|
| a | a2 | ab | ac |
| b | ba | b2 | bc |
| c | ca | cb | c2 |
Кэли в своей работе в первой строке и первом столбце размещал нейтральный элемент, что позволяло ему не выделять отдельных строки и столбца с указанием элементов, как это видно в примере выше. Например, та же самая таблица представлялась в виде:
| a | b | c |
| b | c | a |
| c | a | b |
В этом примере циклической группы Z3 элемент a является нейтральным элементом, и он появляется в верхнем левом углу таблицы. Легко видеть, например, что b2 = c и что cb = a. Вопреки этому большинство современных текстов, в том числе и эта статья, включают заголовочные строку и столбец для большей ясности.
Свойства и использование
Коммутативность
Таблица Кэли показывает, является ли операция коммутативной. А именно, это свойство эквивалентно симметричности таблицы Кэли относительно её диагонали. Например, циклическая группа порядка 3 выше, а также {1, −1} по обычному умножению, обе являются примерами абелевых групп, и симметрия их таблиц Кэли доказывает это. А вот наименьшая неабелева группа — диэдральная группа шестого порядка, не имеет симметрии в таблице Кэли.
Ассоциативность
Поскольку ассоциативность в группах присутствует по определению, часто она предполагается и в таблицах Кэли. Однако таблицы Кэли можно использовать для описания операций в квазигруппах, в которых ассоциативность не требуется (более того, таблицы Кэли можно использовать для описания операции в любой конечной магме). В общем случае невозможно простым обзором таблицы определить, ассоциативна операция или нет, в отличие от коммутативности. Это обусловлено тем, что ассоциативность зависит от трёх элементов в равенстве, 
, в то время как таблица Кэли показывает произведения двух элементов. Тем не менее, тест ассоциативности Лайта может определить ассоциативность с меньшими усилиями, чем грубый перебор.
Перестановки
Поскольку [англ.] для групп выполняется (более того, выполняется даже для квазигрупп), никакая строка или столбец таблицы Кэли не может содержать один элемент дважды. Таким образом, каждая строка и столбец таблицы является перестановкой элементов группы.
Чтобы увидеть, почему строки и столбцы не могут содержать одинаковых элементов, положим a, x и y — элементы группы, при этом x и y различны. Теперь в строке, соответствующей элементу a, и столбце, соответствующем элементу x, будет находиться произведение ax. Аналогично в столбце, соответствующем y, будет находиться ay. Пусть два произведения равны, то есть строка a содержит элемент дважды. По правилу сокращения мы из ax = ay можем заключить, что x = y, что противоречит выбору x и y. Точно те же рассуждения верны и для столбцов. Ввиду конечности группы по принципу Дирихле каждый элемент группы будет представлен в точности по одному разу в каждой строке и в каждом столбце.
То есть таблица Кэли для группы является примером латинского квадрата.
Построение таблиц Кэли для групп
Используя структуру групп, часто можно «заполнить» таблицы Кэли, которые имеют незаполненные поля, даже не зная ничего об операции группы. Например, поскольку каждая строка и каждый столбец должны содержать все элементы группы, один отсутствующий элемент в строке (или столбце) можно заполнить, совершенно не зная ничего о группе. Это показывает, что это свойство и некоторые другие свойства групп дают возможность построения таблиц Кэли, даже если мы мало что знаем о группе.
«Скелет нейтральных элементов» конечной группы
Поскольку в любой группе, даже не в абелевой, любой элемент перестановочен со своим обратным, распределение нейтральных элементов в таблице Кэли симметрично относительно диагонали. Нейтральные элементы, лежащие на диагонали, соответствуют элементам, совпадающим со своими обратными.
Поскольку порядок строк и столбцов в таблице Кэли произвольны, удобно расположить их в следующем порядке: начинаем с нейтрального элемента группы, который всегда совпадает со своим обратным, затем перечисляем все элементы, которые совпадают со своими обратными, а затем выписываем пары элементов (элемент и обратный к нему).
Теперь для конечной группы некоторого порядка легко определить «скелет нейтральных элементов», названный так по той причине, что нейтральные элементы либо лежат на главной диагонали, либо рядом с ней.
Группы с различными скелетами не могут быть изоморфны, однако обратное неверно (например, циклическая группа C8 и группа кватернионов Q не изоморфны, хотя и имеют одинаковые скелеты).
Пусть имеется шесть элементов группы e, a, b, c, d и f. Пусть e — нейтральный элемент. Поскольку нейтральный элемент совпадает со своим обратным, а обратный элемент единственнен, должен быть, по крайней мере, ещё один элемент, совпадающий со своим обратным. Таким образом, получаем следующие возможные скелеты:
- все элементы совпадают со своими обратными,
- все элементы, за исключением d и f, совпадают со своими обратными, а эти два обратны друг другу,
- a совпадает со своим обратным, b и c обратны, d и f обратны.
В нашем случае не существует группы первого типа порядка 6. Более того, из того, что скелет возможен, совсем не следует, что существует группа, у которой скелет совпадает с ним.
Любая группа, в которой любой элемент совпадает с его обратным, абелева.
Заполнение таблицы по скелету нейтральных элементов
Если задан скелет нейтральных элементов, можно приступить к заполнению таблицы Кэли. Например, выберем второй скелет группы порядка 6 из описанных выше:
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | |||||
| a | e | |||||
| b | e | |||||
| c | e | |||||
| d | e | |||||
| f | e |
Очевидно, что строка e и столбец e могут быть заполнены немедленно. Как только это сделано, может оказаться необходимым (и это необходимо в нашем случае) сделать предположение, которое впоследствии может привести к противоречию, что будет означать, что предположение неверно. Мы предположим, что ab = c. Тогда:
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | |||
| b | b | e | ||||
| c | c | e | ||||
| d | d | e | ||||
| f | f | e |
Умножая ab = c слева на a, получим b = ac. Умножение справа на c даёт bc = a. Умножение ab = c справа на b даёт a = cb. Умножение bc = a слева на b даёт c = ba, а умножение справа на a даёт ca = b. После заполнения этих произведений в таблице мы обнаружим, что ad и af остаются незаполненными в строке a. Поскольку каждый элемент должен появиться в строке ровно один раз, получим, что ad должен быть либо d, либо f. Однако этот элемент не может равняться d, поскольку в противном случае a был бы равен e, в то время как мы знаем, что эти два элемента различны. Таким образом, ad = f и af = d.
Теперь, поскольку обратный элементу d есть f, умножение ad = f справа на f даёт a = f2. Умножение слева на d даёт da = f. Умножив справа на a, мы получим d = fa.
После внесения всех этих произведений таблица Кэли примет вид:
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | c | b | f | d |
| b | b | c | e | a | ||
| c | c | b | a | e | ||
| d | d | f | e | |||
| f | f | d | e | a |
Поскольку каждый элемент группы должен появиться в каждой строке ровно один раз, две пустые ячейки таблицы в строке b должны быть заняты либо d, либо f. Однако в соответствующих столбцах уже присутствуют d и f. Таким образом, что бы мы ни поставили в эти поля, получим повторение в столбцах, что показывает, что начальное предположение ab = c было неверным. Однако мы теперь знаем, что ab ≠ c.
Осталось две возможности — либо ab = d, либо ab = f. Поскольку d and f взаимно обратны и выбор букв произволен, результат будет одинаковым с точностью до изоморфизма. Без потери общности можно считать, что ab = d. Если мы теперь получим противоречие, нам придётся признать, что для этого скелета нет соответствующей группы.
Получаем новую таблицу Кэли:
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | |||
| b | b | e | ||||
| c | c | e | ||||
| d | d | e | ||||
| f | f | e |
Умножая ab = d слева на a, мы получаем b = ad. Умножение справа на f даёт bf = a, а умножение слева на b даёт f = ba. Умножив справа на a, мы получим fa = b, а умножив слева на d, получим a = db. Внеся результаты в таблицу Кэли, получим (новые элементы выделены красным):
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | b | ||
| b | b | f | e | a | ||
| c | c | e | ||||
| d | d | a | e | |||
| f | f | b | e |
В строке a отсутствуют c и f, но поскольку af не может равняться f (иначе a будет равен e), мы можем заключить, что af = c. Умножение слева на a даёт f = ac, и это мы можем умножить справа на c, что даёт fc = a. Умножение последнего на d слева даёт c = da, что мы можем умножить справа на a и получить ca = d. Таким же образом, умножая af = c справа на d, получим a = cd. Обновим таблицу (последние изменения выделены синим):
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | a | ||
| c | c | d | e | a | ||
| d | d | c | a | e | ||
| f | f | b | a | e |
Поскольку в строке b отсутствуют c и d, а bc не может равняться c, мы выводим, что bc = d, а потому произведение bd должно быть равно c. Умножение справа на f даёт нам b = cf, что можно преобразовать в cb = f умножением на c слева. Рассуждая аналогично, можно вывести, что c = fb и dc = b. Вносим изменения в таблицу (внесённые элементы выделены зелёным цветом):
| e | a | b | c | d | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | d | c | a |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | c | a | b | e | |
| f | f | b | c | a | e |
В строке d отсутствует только f, так что d2 = f. Таким же образом получаем, что f2 = d. Мы заполнили всю таблицу и не пришли к противоречию. Таким образом, мы нашли группу порядка 6, соответствующую скелету. Просмотр таблицы показывает, что она не абелева. Фактически это наименьшая неабелева группа, диэдрическая группа D3:
| * | e | a | b | c | d | f |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f |
| a | a | e | d | f | b | c |
| b | b | f | e | d | c | a |
| c | c | d | f | e | a | b |
| d | d | c | a | b | f | e |
| f | f | b | c | a | e | d |
Генерация матрицы перестановок
В стандартной форме таблицы Кэли порядок строк и столбцов совпадает. Другим способом упорядочения является расстановка столбцов таким образом, чтобы n-ый столбец соответствовал обратным элементам n-ой строки. В нашем примере для D3 нам необходимо только переставить два последних столбца, поскольку только f и d не являются обратными себе, зато являются обратными друг другу.
| e | a | b | c | f=d−1 | d=f−1 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | f | d |
| a | a | e | d | f | c | b |
| b | b | f | e | d | a | c |
| c | c | d | f | e | b | a |
| d | d | c | a | b | e | f |
| f | f | b | c | a | d | e |
В нашем примере можно создать шесть перестановочных матриц (все элементы равны 1 или 0, по одной единице в каждой строке и каждом столбце). 6x6 матрица содержит единицу, если метка столбца совпадает с меткой строки, и нули во всех остальных полях, символ Кронекера для метки. (Заметим, что для строки e получим единичную матрицу.) Например, для a получим перестановочную матрицу.
| e | a | b | c | f | d | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| e | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| b | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| c | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| d | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| f | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Это показывает, что любая группа порядка n является подгруппой группы перестановок Sn порядка n!.
Обобщения
Описанные выше свойства зависят от некоторых аксиом для групп. Естественно распространить таблицы Кэли на некоторые другие алгебраические структуры, такие как полугруппы, квазигруппы и магмы, но для них некоторые выше указанные свойства выполняться не будут.
См. также
Ссылки
- Cayley, Arthur. «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1», Philosophical Magazine, Vol. 7 (1854), pp. 40-47. Available on-line at Google Books as part of his collected works.
- Cayley, Arthur. «On the Theory of Groups», American Journal of Mathematics, Vol. 11, No. 2 (Jan 1889), pp. 139—157. Available at JSTOR.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Таблица Кэли, Что такое Таблица Кэли? Что означает Таблица Кэли?
Tablica Keli kvadratnaya tablica opisyvayushaya strukturu konechnoj algebraicheskoj sistemy i sostoyashaya iz rezultatov primeneniya binarnoj operacii k eyo elementam Nazvana v chest anglijskogo matematika Artura Keli ispolzovavshego eyo v teorii grupp Imeet vazhnoe znachenie v diskretnoj matematike Naprimer tablica Keli dlya standartnoj operacii umnozheniya displaystyle times na mnozhestve 1 1 displaystyle 1 1 imeet vid 1 11 1 1 1 1 1 Takie tablicy pozvolyayut proyasnit nekotorye svojstva algebraicheskih sistem naprimer yavlyayutsya li oni kommutativnymi i imeyut li oni nejtralnyj element a esli imeyut pozvolyayut najti obratnye elementy k dannym V abstraktnoj algebre tablicy Keli ispolzuyutsya dlya opisaniya konechnyh grupp kolec polej i drugih algebraicheskih struktur Dlya beskonechnyh struktur i struktur s bolshim kolichestvom elementov ih ispolzovanie necelesoobrazno V etom sluchae struktury chashe vsego zadayut obrazuyushimi i sootnosheniyami IstoriyaTablicy Keli vpervye poyavilis v state Keli On The Theory of Groups as depending on the symbolic equation 8 n 1 v 1854 godu V etoj state eto byli prosto tablicy ispolzuemye v illyustrativnyh celyah Nazyvat tablicami Keli ih stali pozzhe v chest ih sozdatelya StrukturaPoskolku tablicy Keli ispolzuyutsya dlya operacij ne obyazatelno yavlyayushihsya kommutativnymi proizvedenie ab mozhet byt ne ravno proizvedeniyu ba Chtoby izbezhat putanicy prinimaetsya chto mnozhitel sootvetstvuyushij strokam idyot pervym a mnozhitel sootvetstvuyushij stolbcam vtorym Naprimer peresechenie stroki a i stolbca b eto ab a ne ba chto pokazano v sleduyushem primere a b ca a2 ab acb ba b2 bcc ca cb c2 Keli v svoej rabote v pervoj stroke i pervom stolbce razmeshal nejtralnyj element chto pozvolyalo emu ne vydelyat otdelnyh stroki i stolbca s ukazaniem elementov kak eto vidno v primere vyshe Naprimer ta zhe samaya tablica predstavlyalas v vide a b cb c ac a b V etom primere ciklicheskoj gruppy Z3 element a yavlyaetsya nejtralnym elementom i on poyavlyaetsya v verhnem levom uglu tablicy Legko videt naprimer chto b2 c i chto cb a Vopreki etomu bolshinstvo sovremennyh tekstov v tom chisle i eta statya vklyuchayut zagolovochnye stroku i stolbec dlya bolshej yasnosti Svojstva i ispolzovanieKommutativnost Tablica Keli pokazyvaet yavlyaetsya li operaciya kommutativnoj A imenno eto svojstvo ekvivalentno simmetrichnosti tablicy Keli otnositelno eyo diagonali Naprimer ciklicheskaya gruppa poryadka 3 vyshe a takzhe 1 1 po obychnomu umnozheniyu obe yavlyayutsya primerami abelevyh grupp i simmetriya ih tablic Keli dokazyvaet eto A vot naimenshaya neabeleva gruppa diedralnaya gruppa shestogo poryadka ne imeet simmetrii v tablice Keli Associativnost Poskolku associativnost v gruppah prisutstvuet po opredeleniyu chasto ona predpolagaetsya i v tablicah Keli Odnako tablicy Keli mozhno ispolzovat dlya opisaniya operacij v kvazigruppah v kotoryh associativnost ne trebuetsya bolee togo tablicy Keli mozhno ispolzovat dlya opisaniya operacii v lyuboj konechnoj magme V obshem sluchae nevozmozhno prostym obzorom tablicy opredelit associativna operaciya ili net v otlichie ot kommutativnosti Eto obuslovleno tem chto associativnost zavisit ot tryoh elementov v ravenstve ab c a bc displaystyle ab c a bc v to vremya kak tablica Keli pokazyvaet proizvedeniya dvuh elementov Tem ne menee test associativnosti Lajta mozhet opredelit associativnost s menshimi usiliyami chem grubyj perebor Perestanovki Poskolku angl dlya grupp vypolnyaetsya bolee togo vypolnyaetsya dazhe dlya kvazigrupp nikakaya stroka ili stolbec tablicy Keli ne mozhet soderzhat odin element dvazhdy Takim obrazom kazhdaya stroka i stolbec tablicy yavlyaetsya perestanovkoj elementov gruppy Chtoby uvidet pochemu stroki i stolbcy ne mogut soderzhat odinakovyh elementov polozhim a x i y elementy gruppy pri etom x i y razlichny Teper v stroke sootvetstvuyushej elementu a i stolbce sootvetstvuyushem elementu x budet nahoditsya proizvedenie ax Analogichno v stolbce sootvetstvuyushem y budet nahoditsya ay Pust dva proizvedeniya ravny to est stroka a soderzhit element dvazhdy Po pravilu sokrasheniya my iz ax ay mozhem zaklyuchit chto x y chto protivorechit vyboru x i y Tochno te zhe rassuzhdeniya verny i dlya stolbcov Vvidu konechnosti gruppy po principu Dirihle kazhdyj element gruppy budet predstavlen v tochnosti po odnomu razu v kazhdoj stroke i v kazhdom stolbce To est tablica Keli dlya gruppy yavlyaetsya primerom latinskogo kvadrata Postroenie tablic Keli dlya gruppIspolzuya strukturu grupp chasto mozhno zapolnit tablicy Keli kotorye imeyut nezapolnennye polya dazhe ne znaya nichego ob operacii gruppy Naprimer poskolku kazhdaya stroka i kazhdyj stolbec dolzhny soderzhat vse elementy gruppy odin otsutstvuyushij element v stroke ili stolbce mozhno zapolnit sovershenno ne znaya nichego o gruppe Eto pokazyvaet chto eto svojstvo i nekotorye drugie svojstva grupp dayut vozmozhnost postroeniya tablic Keli dazhe esli my malo chto znaem o gruppe Skelet nejtralnyh elementov konechnoj gruppy Poskolku v lyuboj gruppe dazhe ne v abelevoj lyuboj element perestanovochen so svoim obratnym raspredelenie nejtralnyh elementov v tablice Keli simmetrichno otnositelno diagonali Nejtralnye elementy lezhashie na diagonali sootvetstvuyut elementam sovpadayushim so svoimi obratnymi Poskolku poryadok strok i stolbcov v tablice Keli proizvolny udobno raspolozhit ih v sleduyushem poryadke nachinaem s nejtralnogo elementa gruppy kotoryj vsegda sovpadaet so svoim obratnym zatem perechislyaem vse elementy kotorye sovpadayut so svoimi obratnymi a zatem vypisyvaem pary elementov element i obratnyj k nemu Teper dlya konechnoj gruppy nekotorogo poryadka legko opredelit skelet nejtralnyh elementov nazvannyj tak po toj prichine chto nejtralnye elementy libo lezhat na glavnoj diagonali libo ryadom s nej Gruppy s razlichnymi skeletami ne mogut byt izomorfny odnako obratnoe neverno naprimer ciklicheskaya gruppa C8 i gruppa kvaternionov Q ne izomorfny hotya i imeyut odinakovye skelety Pust imeetsya shest elementov gruppy e a b c d i f Pust e nejtralnyj element Poskolku nejtralnyj element sovpadaet so svoim obratnym a obratnyj element edinstvennen dolzhen byt po krajnej mere eshyo odin element sovpadayushij so svoim obratnym Takim obrazom poluchaem sleduyushie vozmozhnye skelety vse elementy sovpadayut so svoimi obratnymi vse elementy za isklyucheniem d i f sovpadayut so svoimi obratnymi a eti dva obratny drug drugu a sovpadaet so svoim obratnym b i c obratny d i f obratny V nashem sluchae ne sushestvuet gruppy pervogo tipa poryadka 6 Bolee togo iz togo chto skelet vozmozhen sovsem ne sleduet chto sushestvuet gruppa u kotoroj skelet sovpadaet s nim Lyubaya gruppa v kotoroj lyuboj element sovpadaet s ego obratnym abeleva Zapolnenie tablicy po skeletu nejtralnyh elementov Esli zadan skelet nejtralnyh elementov mozhno pristupit k zapolneniyu tablicy Keli Naprimer vyberem vtoroj skelet gruppy poryadka 6 iz opisannyh vyshe e a b c d fe ea eb ec ed ef e Ochevidno chto stroka e i stolbec e mogut byt zapolneny nemedlenno Kak tolko eto sdelano mozhet okazatsya neobhodimym i eto neobhodimo v nashem sluchae sdelat predpolozhenie kotoroe vposledstvii mozhet privesti k protivorechiyu chto budet oznachat chto predpolozhenie neverno My predpolozhim chto ab c Togda e a b c d fe e a b c d fa a e cb b ec c ed d ef f e Umnozhaya ab c sleva na a poluchim b ac Umnozhenie sprava na c dayot bc a Umnozhenie ab c sprava na b dayot a cb Umnozhenie bc a sleva na b dayot c ba a umnozhenie sprava na a dayot ca b Posle zapolneniya etih proizvedenij v tablice my obnaruzhim chto ad i af ostayutsya nezapolnennymi v stroke a Poskolku kazhdyj element dolzhen poyavitsya v stroke rovno odin raz poluchim chto ad dolzhen byt libo d libo f Odnako etot element ne mozhet ravnyatsya d poskolku v protivnom sluchae a byl by raven e v to vremya kak my znaem chto eti dva elementa razlichny Takim obrazom ad f i af d Teper poskolku obratnyj elementu d est f umnozhenie ad f sprava na f dayot a f2 Umnozhenie sleva na d dayot da f Umnozhiv sprava na a my poluchim d fa Posle vneseniya vseh etih proizvedenij tablica Keli primet vid e a b c d fe e a b c d fa a e c b f db b c e ac c b a ed d f ef f d e a Poskolku kazhdyj element gruppy dolzhen poyavitsya v kazhdoj stroke rovno odin raz dve pustye yachejki tablicy v stroke b dolzhny byt zanyaty libo d libo f Odnako v sootvetstvuyushih stolbcah uzhe prisutstvuyut d i f Takim obrazom chto by my ni postavili v eti polya poluchim povtorenie v stolbcah chto pokazyvaet chto nachalnoe predpolozhenie ab c bylo nevernym Odnako my teper znaem chto ab c Ostalos dve vozmozhnosti libo ab d libo ab f Poskolku d and f vzaimno obratny i vybor bukv proizvolen rezultat budet odinakovym s tochnostyu do izomorfizma Bez poteri obshnosti mozhno schitat chto ab d Esli my teper poluchim protivorechie nam pridyotsya priznat chto dlya etogo skeleta net sootvetstvuyushej gruppy Poluchaem novuyu tablicu Keli e a b c d fe e a b c d fa a e db b ec c ed d ef f e Umnozhaya ab d sleva na a my poluchaem b ad Umnozhenie sprava na f dayot bf a a umnozhenie sleva na b dayot f ba Umnozhiv sprava na a my poluchim fa b a umnozhiv sleva na d poluchim a db Vnesya rezultaty v tablicu Keli poluchim novye elementy vydeleny krasnym e a b c d fe e a b c d fa a e d bb b f e ac c ed d a ef f b e V stroke a otsutstvuyut c i f no poskolku af ne mozhet ravnyatsya f inache a budet raven e my mozhem zaklyuchit chto af c Umnozhenie sleva na a dayot f ac i eto my mozhem umnozhit sprava na c chto dayot fc a Umnozhenie poslednego na d sleva dayot c da chto my mozhem umnozhit sprava na a i poluchit ca d Takim zhe obrazom umnozhaya af c sprava na d poluchim a cd Obnovim tablicu poslednie izmeneniya vydeleny sinim e a b c d fe e a b c d fa a e d f b cb b f e ac c d e ad d c a ef f b a e Poskolku v stroke b otsutstvuyut c i d a bc ne mozhet ravnyatsya c my vyvodim chto bc d a potomu proizvedenie bd dolzhno byt ravno c Umnozhenie sprava na f dayot nam b cf chto mozhno preobrazovat v cb f umnozheniem na c sleva Rassuzhdaya analogichno mozhno vyvesti chto c fb i dc b Vnosim izmeneniya v tablicu vnesyonnye elementy vydeleny zelyonym cvetom e a b c d fe e a b c d fa a e d f b cb b f e d c ac c d f e a bd d c a b ef f b c a e V stroke d otsutstvuet tolko f tak chto d2 f Takim zhe obrazom poluchaem chto f2 d My zapolnili vsyu tablicu i ne prishli k protivorechiyu Takim obrazom my nashli gruppu poryadka 6 sootvetstvuyushuyu skeletu Prosmotr tablicy pokazyvaet chto ona ne abeleva Fakticheski eto naimenshaya neabeleva gruppa diedricheskaya gruppa D3 e a b c d fe e a b c d fa a e d f b cb b f e d c ac c d f e a bd d c a b f ef f b c a e dGeneraciya matricy perestanovokV standartnoj forme tablicy Keli poryadok strok i stolbcov sovpadaet Drugim sposobom uporyadocheniya yavlyaetsya rasstanovka stolbcov takim obrazom chtoby n yj stolbec sootvetstvoval obratnym elementam n oj stroki V nashem primere dlya D3 nam neobhodimo tolko perestavit dva poslednih stolbca poskolku tolko f i d ne yavlyayutsya obratnymi sebe zato yavlyayutsya obratnymi drug drugu e a b c f d 1 d f 1e e a b c f da a e d f c bb b f e d a cc c d f e b ad d c a b e ff f b c a d e V nashem primere mozhno sozdat shest perestanovochnyh matric vse elementy ravny 1 ili 0 po odnoj edinice v kazhdoj stroke i kazhdom stolbce 6x6 matrica soderzhit edinicu esli metka stolbca sovpadaet s metkoj stroki i nuli vo vseh ostalnyh polyah simvol Kronekera dlya metki Zametim chto dlya stroki e poluchim edinichnuyu matricu Naprimer dlya a poluchim perestanovochnuyu matricu e a b c f de 0 1 0 0 0 0a 1 0 0 0 0 0b 0 0 0 0 1 0c 0 0 0 0 0 1d 0 0 1 0 0 0f 0 0 0 1 0 0 Eto pokazyvaet chto lyubaya gruppa poryadka n yavlyaetsya podgruppoj gruppy perestanovok Sn poryadka n ObobsheniyaOpisannye vyshe svojstva zavisyat ot nekotoryh aksiom dlya grupp Estestvenno rasprostranit tablicy Keli na nekotorye drugie algebraicheskie struktury takie kak polugruppy kvazigruppy i magmy no dlya nih nekotorye vyshe ukazannye svojstva vypolnyatsya ne budut Sm takzheTablica umnozheniya Latinskij kvadratSsylkiCayley Arthur On the theory of groups as depending on the symbolic equation 8 n 1 Philosophical Magazine Vol 7 1854 pp 40 47 Available on line at Google Books as part of his collected works Cayley Arthur On the Theory of Groups American Journal of Mathematics Vol 11 No 2 Jan 1889 pp 139 157 Available at JSTOR Dlya uluchsheniya etoj stati zhelatelno Proverit kachestvo perevoda s inostrannogo yazyka Ispravit statyu soglasno stilisticheskim pravilam Vikipedii Pozhalujsta posle ispravleniya problemy isklyuchite eyo iz spiska parametrov Posle ustraneniya vseh nedostatkov etot shablon mozhet byt udalyon lyubym uchastnikom
