Теорема Хартогса - NiNa.Az

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция ${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{(x^{2}+y^{2})}},f(0,0)=0}$ бесконечно дифференцируема по ${\displaystyle x}$ (или ${\displaystyle y}$) когда ${\displaystyle y}$ (или ${\displaystyle x}$) является фиксированным, но ${\displaystyle f}$ даже не является непрерывной в начале координат.

Формулировка

Если комплекснозначная функция ${\displaystyle F}$ определена в открытом множестве ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$-мерного комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ и аналитическая по каждому переменному ${\displaystyle z_{j}}$, когда другие переменные фиксированы, то функция ${\displaystyle F}$ является аналитической в ${\displaystyle \Omega }$.

История

При дополнительном предположении непрерывности это утверждение иногда называется леммой Осгуда, её доказал Вильям Осгуд

Примечания

1. Osgood, William F. (1899), Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen, Mathematische Annalen, 52, Springer Berlin / Heidelberg: 462–464, doi:10.1007/BF01476172, ISSN 0025-5831

Литература

• Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.: Мир, 1968. — 280 с.