Теория Морса - NiNa.Az

У этого термина существуют и другие значения, см. Морс (значения).

Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработанная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках.

Линии уровня на торе.

Одно из исторически первых применений методов дифференциальной топологии в анализе. Морс называл теорию «вариационным исчислением в целом» (англ. variation calculus in large), при этом начиная 1960-х годов с обобщением результатов на бесконечномерные многообразия теория Морса стала считаться подразделом глобального анализа — анализа на многообразиях. В свою очередь, в работах Рауля Ботта второй половины 1950-х годов методы теории Морса применены к чисто топологическим задачам, и полученные результаты (прежде всего, ^[англ.]) во многом послужили фундаментом для самостоятельного раздела математики — K-теории.

Выделяются три основных последовательно развившихся направления теории Морса: классическая теория критических точек на гладком многообразии➤, теория Морса для геодезических на римановом многообразии, явившаяся применением построений классической теории, и теория Морса на ^[англ.], естественно продолжающая теорию геодезических и являющаяся непосредственным обобщением классической теории.

Теория критических точек на гладком многообразии

Ключевой результат теории критических точек на гладком многообразии — лемма Морса, описывающая поведение вещественной функции на многообразии ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ в невырожденной критической точке ${\displaystyle b\in M}$: согласно лемме, существует карта ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ для окрестности ${\displaystyle U\ni b}$, такая что ${\displaystyle x_{i}(b)=0}$ для всех ${\displaystyle i}$ и на всей ${\displaystyle U}$ имеет место:

${\displaystyle f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$.

(Здесь ${\displaystyle \alpha }$ — индекс ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle b}$.) Обобщение леммы на гильбертовы пространства — ^[англ.].

Другой важный результат связан с применением перестройки Морса: если множество ${\displaystyle f^{-1}([a,b])}$ компактно, не пересекается с краем многообразия ${\displaystyle M}$ и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ диффеоморфно многообразию, полученному из ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ приклеиванием ручки индекса ${\displaystyle k}$.

Каждой функции Морса ${\displaystyle f}$ на гладком многообразии ${\displaystyle M}$ без края (такой, что все множества ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ компактны) отвечает гомотопически эквивалентный многообразию ${\displaystyle M}$ CW-комплекс, клетки которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с критическими точками функции ${\displaystyle f}$, причём размерность клетки равна соответствующей критической точки. Важные следствия этого результата — . Также данный результат предоставляет мощный инструмент для изучения топологии многообразий, причём важны не только индексы, но и количество критических точек. Например, если на замкнутом многообразии задана функция Морса ${\displaystyle f:M\to R}$, имеющая в точности ${\displaystyle m}$ критических точек (индексы которых неизвестны), то:

• случай ${\displaystyle m=1}$ невозможен согласно неравенствам Морса;
• в случае ${\displaystyle m=2}$: теорема Риба о сфере утверждает, что ${\displaystyle M}$ гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере ${\displaystyle S^{n}}$;
• случай ${\displaystyle m=3}$ возможен только в некоторых малых размерностях, при этом ${\displaystyle M}$ гомеоморфно многообразию Илса — Кёйпера.

Вариации и обобщения

• Теория Морса — Ботта — вариант теории Морса с неизолированными критическими точками. Эта теория находит применение при изучении многообразий с симметриями.

Примечания

1. Smale S. What is Global Anaysis? (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1969. — Vol. 76, no. 1. — P. 4—9. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2316777.
2. Морса теория — статья из Математической энциклопедии. М. М. Постников, Ю. Б. Рудяк

Литература

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.
• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 3: Основы теории Морса