Тригонометрические функции - NiNa.Az

Запросы «sin» и «синус» перенаправляются сюда; у терминов sin и синус есть также другие значения.

Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

О функциях, выражающихся через экспоненту см. гиперболические функции.

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.

Рис. 1. Графики тригонометрических функций:  синуса,  косинуса,  тангенса,  котангенса,  секанса,  косеканса

Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:

прямые тригонометрические функции:

• синус (${\displaystyle \sin x}$);
• косинус (${\displaystyle \cos x}$);

производные тригонометрические функции:

• тангенс ${\displaystyle \left(\mathrm {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}}\right)}$;
• котангенс ${\displaystyle \left(\mathrm {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}}\right)}$;

• секанс ${\displaystyle \left(\sec x={\frac {1}{\cos x}}\right)}$;
• косеканс ${\displaystyle \left(\mathrm {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}}\right)}$;

обратные тригонометрические функции:

• арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс и арккосеканс.

Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.).

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках ${\displaystyle \pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}}$, а у котангенса и косеканса — в точках ${\displaystyle \pm \pi n}$.

Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Способы определения

Определение для любых углов

Рис. 2. Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса (${\displaystyle R=1}$) с центром в начале координат ${\displaystyle O}$. Всякий угол станем рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча ${\displaystyle OB}$ (точку ${\displaystyle B}$ выбираем на окружности), при этом направление поворота против часовой стрелки считаем положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки ${\displaystyle B}$ обозначим ${\displaystyle x_{B}}$, а ординату — ${\displaystyle y_{B}}$ (рис. 2).

Рис. 3. Численные значения тригонометрических функций угла ${\displaystyle \alpha }$ в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Синусом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется ордината точки ${\displaystyle M_{\alpha }}$ единичной окружности, где ${\displaystyle {\left(\cdot \right)}M_{\alpha }}$ получается поворотом ${\displaystyle {\left(\cdot \right)}M_{0}}$ на угол ${\displaystyle \alpha }$ в положительном направлении (против часовой стрелки), если ${\displaystyle \alpha >0}$, и в отрицательном (по часовой стрелке), если ${\displaystyle \alpha <0}$.

Косинусом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется абсцисса точки ${\displaystyle M_{\alpha }}$ единичной окружности, где ${\displaystyle {\left(\cdot \right)}M_{\alpha }}$ получается поворотом ${\displaystyle {\left(\cdot \right)}M_{0}}$ на угол ${\displaystyle \alpha }$ в положительном направлении (против часовой стрелки), если ${\displaystyle \alpha >0}$, и в отрицательном (по часовой стрелке), если ${\displaystyle \alpha <0}$.

Тангенсом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется отношение ординаты точки ${\displaystyle M_{\alpha }}$ единичной окружности к её абсциссе, причём точка ${\displaystyle M_{\alpha }}$ не принадлежит оси ординат.

Котангенсом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется отношение абсциссы точки ${\displaystyle M_{\alpha }}$ единичной окружности к её ординате, причём точка ${\displaystyle M_{\alpha }}$ не принадлежит оси абсцисс.

Таким образом, определения тригонометрических функций выглядят следующим образом:

• ${\displaystyle \sin \alpha =y_{B}}$, ${\displaystyle \cos \alpha =x_{B}}$;
• ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {y_{B}}{x_{B}}}}$, ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {x_{B}}{y_{B}}}}$;
• ${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{x_{B}}}}$, ${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{y_{B}}}}$.

Нетрудно видеть, что такое определение также основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак (${\displaystyle \pm 1}$). Поэтому тригонометрические функции можно определить и по окружности произвольного радиуса ${\displaystyle R}$, однако формулы придётся нормировать. На рис. 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной. Так, угол в ${\displaystyle 360^{\circ }}$ запишется длиной единичной окружности ${\displaystyle 2\pi }$. Угол в ${\displaystyle 180^{\circ }}$ равен, соответственно ${\displaystyle \pi }$ и так далее. Заметим, что угол на ${\displaystyle 2\pi }$ отличающийся от ${\displaystyle \alpha }$ по рисунку эквивалентен ${\displaystyle \alpha }$, вследствие чего заключим, что тригонометрические функции периодичны.

Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа ${\displaystyle x}$ тригонометрическими функциями угла, радианная мера которого равна ${\displaystyle x}$.

Определение для острых углов

Рис. 4. Тригонометрические функции острого угла

Определение тангенса. Марка СССР 1961 года

В геометрии тригонометрические функции острого угла определяются отношениями сторон прямоугольного треугольника. Пусть ${\displaystyle \triangle AOB}$ — прямоугольный (угол ${\displaystyle \angle A}$ прямой), с острым углом ${\displaystyle \angle AOB=\alpha }$ и гипотенузой ${\displaystyle OB}$. Тогда:

• ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {AB}{OB}}}$ (синусом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется отношение противолежащего катета к гипотенузе). Синус можно рассматривать как «коэффициент сжатия» длины отрезка при наблюдении за ним под углом, то есть насколько укорачивается проекция отрезка при его наклоне на определённый угол.
• ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {OA}{OB}}}$ (косинусом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется отношение прилежащего катета к гипотенузе);
• ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {AB}{OA}}}$ (тангенсом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется отношение противолежащего катета к прилежащему). Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько противолежащий катет больше прилежащего. Если тангенс равен 1, то катеты равны. Данное свойство используется в математическом анализе в определении производной: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны. В геометрии тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной тангенс может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, то есть м ∕ с.
• ${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\alpha ={\frac {OA}{AB}}}$ (котангенсом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется отношение прилежащего катета к противолежащему);
• ${\displaystyle \mathrm {sec} \,\alpha ={\frac {OB}{OA}}}$ (секансом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется отношение гипотенузы к прилежащему катету) .
• ${\displaystyle \mathrm {cosec} \,\alpha ={\frac {OB}{AB}}}$ (косекансом угла ${\displaystyle \alpha }$ называется отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Определение как решений дифференциальных уравнений

Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:

${\displaystyle \ \left(\cos x\right)''=-\cos x,}$

${\displaystyle \ \left(\sin x\right)''=-\sin x.}$

То есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}$

с дополнительными условиями: ${\displaystyle R(0)=1}$ для косинуса и ${\displaystyle R'(0)=1}$ для синуса.

Из приведённых решений следует важный вывод для теории радиотехнических цепей: синусоидальный сигнал не искажает свою форму при прохождении по RCL-цепям, искажаются только амплитуда и фаза. Подобным свойством обладает экспонента, но она не является периодической функцией.^{[значимость факта?]}

Определение как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как решения (${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ соответственно) системы функциональных уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.}$

при дополнительных условиях:

${\displaystyle f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,}$ ${\displaystyle g(\pi /2)=1,}$ и ${\displaystyle 0<g(x)<1}$ при ${\displaystyle 0<x<\pi /2}$.

Определение через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}$

Пользуясь этими формулами, а также равенствами ${\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},}$ ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},}$ ${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$ и ${\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},}$ можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

${\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}$

${\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}$

${\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}$

${\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}$

где

${\displaystyle B_{n}}$ — числа Бернулли,

${\displaystyle E_{n}}$ — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Основная статья: Тригонометрические константы

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («${\displaystyle \infty }$» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения косинуса и синуса на окружности

Радианы	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi }$
Градусы	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle 360^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \infty }$

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Радианы	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}$
Градусы	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle 300^{\circ }}$	${\displaystyle 315^{\circ }}$	${\displaystyle 330^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$
${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha }$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2}$

Радианы	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$
Градусы	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle 22{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle 54^{\circ }}$	${\displaystyle 67{,}5^{\circ }}$	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$
${\displaystyle \sin \alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$
${\displaystyle \cos \alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle \sec \alpha }$	${\displaystyle 2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}+1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha }$	${\displaystyle 2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$

Значения тригонометрических функций для некоторых других углов

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\cos {\frac {29\,\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{60}}=\sin {\frac {29\,\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }=\sin 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 3^{\circ }=\operatorname {ctg} 87^{\circ }={\frac {2({\sqrt {5}}+2)-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 3^{\circ }=\operatorname {tg} 87^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\cos {\frac {7\,\pi }{15}}=\sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1}{8}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\sin {\frac {7\,\pi }{15}}=\cos 6^{\circ }=\sin 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }=\operatorname {ctg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }=\operatorname {tg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)}{2}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\cos {\frac {9\,\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\sin {\frac {9\,\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }=\sin 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }=\operatorname {ctg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }=\operatorname {tg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\cos {\frac {13\,\pi }{30}}=\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}},}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\sin {\frac {13\,\pi }{30}}=\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1}{8}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }=\operatorname {ctg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }=\operatorname {tg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},}$