Уравнение Матьё - NiNa.Az

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Уравнение Матьё

Уравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0,}$

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle q}$ - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует .

Решения уравнения Матьё

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: ${\displaystyle y(x)=\exp(\mu x)\phi (x)}$,

где ${\displaystyle \phi (x)}$ имеет период ${\displaystyle 2\pi }$. При ${\displaystyle \mu =0}$ эти решения являются периодическими с периодом ${\displaystyle 2\pi }$ и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: ${\displaystyle \mathrm {ce} _{0}(x),\mathrm {ce} _{1}(x),\mathrm {se} _{1}(x),\mathrm {ce} _{2}(x),\mathrm {se} _{2}(x),...}$. Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: ${\displaystyle \mathrm {ce} _{2n}(x)=\sum _{k}A_{k}\cos 2kx,\mathrm {ce} _{2n+1}(x)=\sum _{k}B_{k}\cos(2k+1)x,\mathrm {se} _{2n}(x)=\sum _{k}C_{k}\sin 2kx,\mathrm {se} _{2n+1}(x)=\sum _{k}D_{k}\sin(2k+1)x,}$ где величины ${\displaystyle A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}}$ являются функциями от величин ${\displaystyle a,q}$ в уравнении Матьё. Значения ${\displaystyle A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}}$ можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

См. также

• Уравнение Хилла

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике / Пер. с англ. — М.: Атомиздат, 1972. — 392 с.
• Уравнение Матье, EqWorld