Число Дотти - NiNa.Az

Число́ До́тти — постоянная, определяемая как вещественное решение уравнения

Число Дотти является единственной неподвижной точкой функции косинуса.

${\displaystyle \cos x=x,}$

где аргумент ${\displaystyle \cos }$ измеряется в радианах. В десятичном представлении число Дотти примерно равно ${\displaystyle 0,739085133215...}$.

Из теоремы о промежуточном значении следует, что указанное уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Производная функции ${\displaystyle x-\cos(x)}$ равна ${\displaystyle \sin(x)+1}$ и почти везде положительна, а значит, сама функция монотонно возрастает и не может иметь нескольких нулей. Таким образом, уравнение ${\displaystyle \cos x=x}$ однозначно определяет рассматриваемую константу.

Значения тригонометрических функций

Пусть ${\displaystyle D}$ — число Дотти. Тогда:

${\displaystyle \mathrm {sin} (D)\approx 0,673612029183}$

${\displaystyle \mathrm {tg} (D)\approx 0,911413312094}$

Свойства

Число Дотти является нетривиальной притягивающей неподвижной точкой функции косинуса на сколь угодно большой своей действительной (но не комплексной) окрестности. Иначе говоря, для любого действительного ${\displaystyle x}$ число ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }(\underbrace {\cos(\cos(\dots \cos(x)\dots ))} _{n})}$ равно константе Дотти. Уравнение ${\displaystyle \cos z=z}$ для комплексного ${\displaystyle z}$ имеет, кроме неё, бесконечное количество решений, однако ни одно из них не является притягивающей неподвижной точкой.

Кроме того, число Дотти трансцендентно, что можно доказать при помощи теоремы Линдемана — Вейерштрасса.

С использованием теоремы Лагранжа об обращении рядов было доказано, что число Дотти представимо в виде ряда ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{2n-1}\pi ^{2n-1}}$, где ${\displaystyle a_{n}}$ для любого нечётного ${\displaystyle n}$ является рациональным числом, определённым следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!\;2^{n}}}\lim _{t\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\left({\frac {\cos t}{t-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\end{aligned}}}$

Первые несколько членов последовательности ${\displaystyle (a_{n})}$ равны ${\displaystyle -{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots }$

Формула в Excel

Формула для числа Дотти в Excel или LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

Происхождение названия

Имя данной константе было дано Самюэлем Капланом в честь преподавательницы французского по имени Дотти, которая обнаружила её, нажимая раз за разом кнопку взятия косинуса на калькуляторе, и рассказала об этом своему мужу — учителю математики.

Сноски

1. Каплан не приводит явного выражения для членов ряда, однако оно мгновенно следует из теоремы Лагранжа об обращении рядов.

Примечания

1. OEIS A003957  (неопр.). oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
2. Eric W. Weisstein. Dottie Number  (неопр.). Дата обращения: 24 апреля 2020. Архивировано 18 марта 2020 года.
3. Kaplan, Samuel R. The Dottie Number (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 2007. — February (vol. 80). — P. 73. Архивировано 12 ноября 2020 года.
4. OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number.  (неопр.) oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
5. A306254 - OEIS  (неопр.). oeis.org. Дата обращения: 22 июля 2019. Архивировано 22 июля 2019 года.

Ссылки

• Т. Миллер (1890) On the numerical values of the roots of the equation cosx = x
• Валерий Салов (2012) Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine
• Mohammad K. Azarian (2008) On the fixed points of a function and the fixed points of its composite functions