Штрих Шеффера - NiNa.Az

Штрих Ше́ффера (NAND, отрицание конъюнкции) — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 году.

Штрих Шеффера
И-НЕ, NAND
Диаграмма Венна
Определение	${\displaystyle {\overline {x\cdot y}}}$
Таблица истинности	${\displaystyle (1110)}$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$
Конъюнктивная	${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$
Полином Жегалкина	${\displaystyle 1\oplus xy}$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Нет
Монотонна	Нет
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Штрих Шеффера, обычно обозначаемый | или ↑, эквивалентен операции И-НЕ и задаётся в виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы (двумерного массива) из четырёх ячеек:

x↑y = x NAND y = NOT(x AND y) = !(x&&y) y 1 0 1 1 x 

на которой сразу видно, что функция симметрична относительно главной диагонали, или таблицей истинности из трёх колонок (двенадцать ячеек):

X	Y	X | Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Таким образом, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, то есть не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется.

Инверсией штриха Шеффера является конъюнкция.

Штрих Шеффера, как и стрелка Пирса, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть, используя только штрих Шеффера, можно построить все остальные операции. Например,

${\displaystyle X\,|\,X\equiv \neg X}$ — отрицание;

${\displaystyle \left({X\,|\,X}\right)\,|\,\left({Y\,|\,Y}\right)\equiv X\vee Y}$ — дизъюнкция;

${\displaystyle \left({X\,|\,Y}\right)\,|\,\left({X\,|\,Y}\right)\equiv X\wedge Y}$ — конъюнкция;

${\displaystyle X\,|\,\left({Y\,|\,Y}\right)\equiv X\rightarrow Y}$ — импликация.

Цифровая ТТЛ-микросхема SN7400N, содержащая в корпусе четыре элемента 2И-НЕ, реализующих функцию штрих Шеффера. Распространённый советский аналог — К155ЛА3

В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента. С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих логические выражения схем и тем самым снижает их надёжность. Примером может являться промышленные серии 74 (США), 155 (СССР).

Элемент 2И-НЕ (2-in NAND), реализующий штрих Шеффера, обозначается следующим образом (по стандартам ANSI):

В европейских стандартах принято другое обозначение:

См. также

• Идентичность
• Отрицание
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Эквиваленция
• Исключающее или
• Обратная импликация
• Таблица истинности

Примечания

1. В Юникоде для операции И-НЕ предусмотрен символ U+22BC ⊼ nand.

Литература

• Шеффера штрих // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. Ред. кол. С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 639. — 847 с., ил. — 148 900 экз.
• Белоусов А. Алгебра логики и цифровые компьютеры