Гипотезы Вейля - NiNa.Az

Гипотезы Вейля — математические гипотезы о локальных дзета-функциях проективных многообразий над конечными полями.

Гипотезы Вейля утверждают, что локальные дзета-функции должны быть рациональны, удовлетворять функциональному уравнению, а их нули лежать на критических прямых. Последние 2 гипотезы аналогичны гипотезе Римана для дзета-функции Римана.

Гипотезы в общем виде были сформулированы Андре Вейлем в 1949 году, рациональность была доказана ^[англ.] в 1960 году, функциональное уравнение — Александром Гротендиком в 1965 году, аналог гипотезы Римана — Пьером Делинем в 1974 году.

Формулировка гипотез Вейля

Пусть ${\displaystyle X}$ — неособое ${\displaystyle n}$-мерное проективное алгебраическое многообразие над конечным полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Его конгруэнц-дзета-функция определяется как

${\displaystyle Z(X,\;T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right),}$

где ${\displaystyle N_{k}}$ — число точек ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle k}$-мерным расширением ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}}$ поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$. Локальная дзета-функция ${\displaystyle \zeta (X,\;s)=Z(X,\;q^{-s})}$.

Гипотезы Вейля утверждают следующее:

1. (Рациональность) ${\displaystyle Z(X,\;T)}$ является рациональной функцией ${\displaystyle T}$. Точнее, ${\displaystyle Z(X,\;T)}$ может быть представлено в виде конечного произведения

${\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2n}P_{i}(T)^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\cdot \ldots \cdot P_{2n}(T)}},}$

где каждый ${\displaystyle P_{i}(T)}$ — многочлен с целыми коэффициентами. Причем ${\displaystyle P_{0}(T)=1-T,\;P_{2n}(T)=1-q^{n}T}$, а для всех ${\displaystyle i\colon 1\leqslant i\leqslant 2n-1}$ ${\displaystyle P_{i}(T)=\prod \limits _{j}(1-\alpha _{ij}T)}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, а ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ — некоторые целые алгебраические числа.

2. (Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет соотношению

${\displaystyle \zeta (X,\;n-s)=\pm q^{{\frac {nE}{2}}-Es}\zeta (X,\;s)}$

или эквивалентно

${\displaystyle Z\left(X,\;{\frac {1}{q^{n}T}}\right)=\pm q^{nE/2}T^{E}Z(X,\;T),}$

где ${\displaystyle E}$ — эйлерова характеристика ${\displaystyle X}$ (индекс самопересечения диагонали ${\displaystyle \Delta (X)}$ в ${\displaystyle X\times X}$).

3. (Гипотеза Римана) для всех ${\displaystyle i,\;j}$ ${\displaystyle |\alpha _{i}|=q^{i/2}}$. Отсюда следует, что все нули ${\displaystyle P_{k}(q^{-s})}$ лежат на «критической прямой» ${\displaystyle \operatorname {Re} s=k/2}$.

4. (Числа Бетти) Если ${\displaystyle X}$ является хорошей редукцией по модулю ${\displaystyle p}$ неособого проективного многообразия ${\displaystyle Y}$, определённым над некоторым числовым полем, вложенным в поле комплексных чисел, то степень ${\displaystyle \deg P_{i}=\beta _{i}(Y)}$, где ${\displaystyle \beta _{i}}$ — число Бетти пространства комплексных точек ${\displaystyle Y}$.

Примечания

1. Deligne, Pierre. La Conjecture de Weil: I : [арх. 7 мая 2021] // Publications Mathématiques de l'IHÉS : journal. — Bures-sur-Yvette : Institut des hautes études scientifiques, 1974. — Vol. 43. — P. 273–307. — ISSN 0073-8301. — doi:10.1007/BF02684373. — Zbl 0287.14001. — MR 340258 Архивная копия от 3 ноября 2021 на Wayback Machine

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.