Рациональная функция - NiNa.Az

Рациона́льная фу́нкция (англ. Rational function), или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение➤, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Пример рациональной функции от одной переменной: ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

Пример рациональной функции от двух переменных

Формальное определение

Рациональная функция, или дробно-рациональная функция, или рациональная дробь — это числовая функция вида

${\displaystyle \mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),}$

где ${\displaystyle \mathbb {U} }$ — комплексные (${\displaystyle \mathbb {C} }$) или вещественные (${\displaystyle \mathbb {R} }$) числа, ${\displaystyle R(u)}$ — рациональное выражение от ${\displaystyle u}$. Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень).

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов ${\displaystyle P(u)}$ и ${\displaystyle Q(u)}$:

${\displaystyle R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+\cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},}$

где ${\displaystyle Q(u)\not \equiv 0.}$ Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов ${\displaystyle P(u)}$ и ${\displaystyle Q(u)}$:

${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}}$.

Частные случаи

• Целая рациональная функция — функция вида

${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1}},}$

где переменная ${\displaystyle x}$ действительна.

Основная статья: Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

• Дробно-линейная функция — отношение двух линейных функций комплексного переменного:

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

• Преобразование Кэли

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

• Функция Жуковского — рациональная функция комплексного переменного

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right),}$

имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским.

Обобщения

• Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)

${\displaystyle \mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n,m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})}},}$

где ${\displaystyle Q(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m})\not \equiv 0}$.

• Абстрактные рациональные функции

${\displaystyle R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_{2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},}$

где ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)}}$ — линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},}$ и ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}}$ — числовые коэффициенты.

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем.

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике.

Доказательство

Сначала докажем, что если произведение многочленов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$, причём ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ взаимно просты, то ${\displaystyle g(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$.

1. Известно, что многочлены ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle \varphi (x)}$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены ${\displaystyle u(x)}$ и ${\displaystyle v(x)}$, что

${\displaystyle f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.}$

2. Умножим это равенство на ${\displaystyle g(x)}$:

${\displaystyle [f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).}$

3. Оба слагаемых этого равенства делятся на ${\displaystyle \varphi (x)}$, следовательно, ${\displaystyle g(x)}$ также делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$.

Теперь, используя это, докажем, что любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя.

1. Любую рациональную дробь можно сократить на наибольший общий делитель её числителя и знаменателя.

2. Далее, если две несократимые дроби равны:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},}$

то есть

${\displaystyle f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).}$

то:

• из взаимной простоты ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ следует, что ${\displaystyle \varphi (x)}$ делится на ${\displaystyle f(x)}$;
• из взаимной простоты ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle \psi (x)}$ следует, что ${\displaystyle f(x)}$ делится на ${\displaystyle \varphi (x)}$.

В итоге получаем, что ${\displaystyle f(x)=c\varphi (x).}$

3. Подставим последнее выражение в исходное, получим:

${\displaystyle c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),}$

или

${\displaystyle g(x)=c\psi (x).}$

Итак, получили, что

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x)}}.}$

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби.

Доказательство

Докажем последнее утверждение.

1. Для любой рациональной дроби ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$, поделив числитель на знаменатель, получим:

${\displaystyle f(x)=g(x)q(x)+r(x),}$

причём степень ${\displaystyle r(x)}$ меньше степени ${\displaystyle g(x).}$ Поделим обе части равенства на ${\displaystyle g(x)}$, получим, что рациональная дробь есть сумма многочлена и правильной дроби:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}.}$

2. Докажем единственность этого представления. Если имеет место также следующее равенство:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}},}$

где также степень ${\displaystyle \varphi (x)}$ меньше степени ${\displaystyle \psi (x)(x)}$, то произведём вычитание:

${\displaystyle q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x)}}.}$

3. Слева последнего равенства стоит многочлен. Поскольку степень ${\displaystyle \varphi (x)}$ меньше степени ${\displaystyle \psi (x)}$, а степень ${\displaystyle r(x)}$ меньше степени ${\displaystyle g(x)}$, то справа последнего равенства стоит правильная дробь, отсюда ${\displaystyle q(x)-q'(x)=0}$ и

${\displaystyle {\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)}}=0.}$

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$ простейшая, если её знаменатель ${\displaystyle g(x)}$ представляет собой степень неприводимого многочлена ${\displaystyle p(x)}$:

${\displaystyle g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,}$

а степень числителя ${\displaystyle f(x)}$ меньше степени ${\displaystyle p(x)}$. Существуют две теоремы.

• Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
• Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Основная статья: Разложение рациональной дроби на простейшие

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

• при интегрировании;
• при разложении в ряд Тейлора;
• при разложении в ряд Лорана;
• при расчёте обратного преобразования Лапласа рациональной дроби.

Пример

Пример. Разложить в сумму простейших дробей вещественную правильную дробь ${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$ где:

${\displaystyle f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,}$

${\displaystyle g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.}$

Решение. 1. Легко проверить, что

${\displaystyle g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),}$

причём ${\displaystyle x+2,}$ ${\displaystyle x-1,}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ неприводимы.

2. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Из основной теоремы следует, что искомое разложение имеет следующий вид:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.}$

Осталось найти числа ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E.}$

3. Приведём проект разложения к общему знаменателю, получим:

${\displaystyle f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=}$

${\displaystyle =A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +B(x+2)(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+}$

${\displaystyle +Dx(x+2)(x-1)^{2}+}$

${\displaystyle +E(x+2)(x-1)^{2}.}$

Можно получить систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E,}$ приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle x}$ из обеих частей последнего равенства. Причём из основной теоремы и теоремы единственности следует, что эта система из пяти уравнений обладает единственным решением.

4. Воспользуемся другим методом. Полагая в последнем равенстве ${\displaystyle x=-2,}$ получаем ${\displaystyle 45A=135,}$ откуда ${\displaystyle A=3.}$ Полагая ${\displaystyle x=1,}$ получаем ${\displaystyle 6B=6,}$ то есть ${\displaystyle B=1.}$ Полагая независимо ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle x=-1,}$ получаем систему

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.}$

Отсюда ${\displaystyle D=1.}$ Положим ${\displaystyle x=2,}$ получаем ${\displaystyle 20C+4E=-52.}$ Возникает система

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.}$

откуда ${\displaystyle C=-2,}$ ${\displaystyle E=-3.}$ Таким образом,

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.}$

Свойства

• Любое выражение, которое можно получить из переменных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
• Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ${\displaystyle (x-a)^{k}}$ (${\displaystyle a}$ — вещественный корень ${\displaystyle Q(x)}$) либо ${\displaystyle (x^{2}+px+q)^{k}}$ (где ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ не имеет действительных корней), причём степени ${\displaystyle k}$ не больше кратности соответствующих корней в многочлене ${\displaystyle Q(x)}$. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.

См. также

• Целая рациональная функция
• Рациональное число
• Рациональное уравнение
• Наипростейшая дробь
• Египетские дроби
• Список интегралов от рациональных функций

Примечания

1. Дробно-рациональная функция, 1979.
2. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, с. 226.
3. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, с. 121.
4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 161—165.
5. Долженко Е. П. Рациональная функция, 1984.
6. Соломенцев Е. Д. Жуковского функция, 1979.
7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 2021, с. 141—142.
8. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I, 2019, с. 292—295.
9. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 50—51.
10. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 62—63.
11. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И.Функции комплексного переменного, 1971, с. 125.
12. M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles : [арх. 18 февраля 2017]. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.

Источники

• Долженко Е. П. Рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 917—919.
• Дробно-рациональная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 387.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii+564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).
• Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 431 с.: ил. ISBN 978-5-8114-6851-5.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: Наука, 1967. 486 с.: ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Соломенцев Е. Д. Жуковского функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 426.