Майорановский фермион - NiNa.Az

В физике элементарных частиц майора́новский фермио́н, или фермио́н Майора́ны — фермион, который является своей собственной античастицей. Существование таких частиц было впервые рассмотрено итальянским физиком Этторе Майораной в 1937 году. В экспериментах с полупроводниковыми нанопроволоками наблюдались квазичастицы, обладающие свойствами майорановского фермиона. Экспериментальное обнаружение майорановских частиц как в физике высоких энергий, так и в области физики твёрдого тела приведёт к важным последствиям для науки в целом.

Майорановский фермион
Диаграмма Фейнмана двойного безнейтринного бета-распада
Состав	Элементарная частица
Семья	Фермион
Группа	Истинно нейтральная частица
Участвует во взаимодействиях	Гравитация
Античастица	Сами себе
Теоретически обоснована	Был впервые рассмотрен итальянским физиком Этторе Майораной в 1930-х годах
В честь кого или чего названа	Этторе Майорана и фермион
Квантовые числа
Электрический заряд	0
Цветовой заряд	0
Барионное число	0
Лептонное число	0
B−L	0
Спин	½ ħ
Магнитный момент	0
Изотопический спин	0
Странность	0
Очарование	0
Прелесть	0
Истинность	0
Гиперзаряд	0

В физике элементарных частиц

Предполагается, что нейтрино может быть либо фермионом Майораны, либо фермионом Дирака (в Стандартной модели все фермионы, включая нейтрино, являются дираковскими). Экспериментального подтверждения этого всё ещё нет, и теория Майораны, в итоге, может оказаться опровергнутой. В первом случае различие между нейтрино и антинейтрино определяется только их спиральностью: превращение нейтрино в антинейтрино можно осуществить переворотом спина (или, например, переходом в систему отсчёта, в которой импульс нейтрино направлен в противоположном направлении, что, правда, осуществимо лишь при ненулевой массе нейтрино). Если электронное нейтрино является фермионом Майораны и при этом массивно, то некоторые изотопы могут испытывать безнейтринный двойной бета-распад; при существующей чувствительности экспериментов этот распад пока не обнаружен, хотя в мире проводятся десятки экспериментов по поиску этого процесса.

Гипотетические частицы нейтралино в суперсимметричных моделях являются фермионами Майораны. Поэтому открытие майорановских фермионов будет дополнительным аргументом для теорий суперсимметрии.

Майорановские частицы, в отличие от дираковских, не могут обладать магнитным дипольным моментом (кроме недиагональных компонент магнитного момента, изменяющих аромат). Слабое взаимодействие с электромагнитными полями делает майорановские фермионы кандидатами для частиц холодной тёмной материи.

16 июля 2013 года коллаборация сообщила, что в результате обработки данных первой фазы долговременного эксперимента, проводящегося в итальянской подземной лаборатории Гран-Сассо на криогенном полупроводниковом мультидетекторе, состоящем из германия, обогащённого германием-76, не был обнаружен безнейтринный двойной бета-распад этого изотопа (нижнее ограничение на период полураспада — не менее 3·10²⁵ лет). Это, как и ряд более ранних и менее чувствительных экспериментов, свидетельствует в пользу того, что нейтрино не является майорановской частицей; точнее, ограничивает сверху так называемую майорановскую массу электронного нейтрино, которая для дираковского фермиона должна быть в точности равна нулю. Установленное верхнее ограничение равно приблизительно 0,2—0,4 эВ. В настоящее время ряд как действующих, так и находящихся на стадии планирования и разработки экспериментов по поиску безнейтринного двойного бета-распада нацелен на улучшение инструментальной чувствительности. Последние доступные данные для оценок снизу для полураспада и оценок сверху для массы приведены в таблице на февраль 2023 года.

Оценка параметров

Эксперимент	Изотоп	Полураспад	Масса
Gerda	^76Ge	8,0·10^25 лет	0,12—0,26 эВ
Majorana	^76Ge	1,9·10^25 лет	0,24—0,53 эВ
KamLAND-Zen	^136Xe	10,7·10^25 лет	0,05—0,16 эВ
EXO	^136Xe	1,1·10^25 лет	0,17—0,49 эВ
CUORE	^130Te	1,5·10^25 лет	0,11—0,50 эВ
KamLAND-Zen	^136Xe	2,3·10^26 лет	0,036—0,156 эВ

Уравнение Дирака

Основная статья: Уравнение Майораны

Математически, фермионы со спином 1/2 описываются уравнением Дирака вида

${\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}\partial _{t}\psi (x,t)=[-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\partial _{x}}}+\beta mc]\psi (x,t),}$

где m — масса частицы, а матрицы α и β удовлетворяют антикоммутационным соотношениям {α_i, α_j} = 2δ_ij, {α_i, β} = 0, β² = 1. Так как выбор этих матриц неоднозначен, то их можно выбрать в виде

${\displaystyle \alpha _{1}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{1}\\\sigma _{1}&0\end{pmatrix}},\quad \alpha _{2}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{3}\\\sigma _{3}&0\end{pmatrix}},\quad \alpha _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \beta ={\begin{pmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{pmatrix}},}$

благодаря чему в исходном уравнении все коэффициенты получаются мнимыми. Тогда уравнение, сопряжённое уравнению Дирака, не меняется:

${\displaystyle i{\frac {\hbar }{c}}\partial _{t}\psi ^{*}(x,t)=[-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\partial _{x}}}+\beta mc]\psi ^{*}(x,t).}$

Решению сопряжённого уравнения Дирака соответствует частица, которая является своей собственной античастицей (${\displaystyle \psi ^{*}=\psi }$) и называется майорановским фермионом. Существует бесконечное множество матриц ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$.

Решениями этого уравнения выступает четырёхкомпонентный спинор, но такую систему из четырёх уравнений Майораны можно привести к виду двух независимых систем (из двух уравнений каждая) с решениями в виде левых (${\displaystyle \psi _{L}}$) и правых (${\displaystyle \psi _{R}}$) майорановских фермионов. Причём массы (m_L и m_R) в этих новых частицах не обязательно совпадают:

${\displaystyle (i\partial _{t}-{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\psi _{R}-im_{R}\sigma _{2}\psi _{R}^{*}=0,}$

${\displaystyle (i\partial _{t}+{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\psi _{L}-im_{L}\sigma _{2}\psi _{L}^{*}=0.}$

Эти уравнения можно получить, используя вариационный принцип в общем виде, исходя из лагранжиана электрослабого взаимодействия. Здесь интерес представляет выбор массового слагаемого в лагранжиане, вид которого определяет дираковский или майорановский фермионы используются в теории. Раньше такого вопроса не возникало из-за предположения о безмассовости нейтрино. Но открытие нейтринных осцилляций поставило вопрос о конечности масс этих истинно нейтральных фермионов. Если представить, что антинейтино и нейтрино на самом деле одна и та же частица (то есть майорановский фермион), то объяснение большой разницы в массах между нейтрино и другими лептонами может дать механизм качелей. Например, в этом случае, масса ненаблюдаемого экспериментально правого нейтрино велика по сравнению с массой электрона (m_D), а масса левого составит малую величину порядка ${\displaystyle m_{D}^{2}/m_{R}}$.

В физике твёрдого тела

Если в физике высоких энергий вопрос о существовании или несуществовании майорановских фермионов остаётся открытым, то никаких сомнений в существовании в сверхпроводниках аналогичных элементарных возбуждений, предсказанных теоретически, нет. Вопрос заключается в демонстрации каких-либо связанных с ними наблюдаемых эффектов из-за технических сложностей. Некоторые квазичастицы (различные возбуждения коллективных состояний в твердотельных системах, ведущие себя подобно частицам) могут описываться как майорановские фермионы, причём их существует несколько типов в связи с возможностью выбрать размерность системы. В физике твёрдого тела майорановские фермионы также называются майорановскими состояниями, чтобы отличать их от решения трёхмерного уравнения Майораны. Интерес к таким квазичастицам (предсказанным, но пока не открытым экспериментально) связан с тем, что они теоретически могут использоваться в кубитах для  — например, для сохранения информации, — при этом из-за своей нелокальной природы они менее чувствительны к влиянию среды. В одномерных системах говорят не о майорановских фермионах, а о майорановских локализованных состояниях, которые не перемещаются в системе свободно, благодаря чему сохраняют свои свойства из-за большого времени декогеренции. Возможное экспериментальное обнаружение таких объектов в комбинированных полупроводниковых-сверхпроводниковых наносистемах в сильном магнитном поле требует независимого подтверждения в связи со сложностью детектирования и существованием возможных альтернативных объяснений.

Майорановские фермионы могут существовать в экзотических системах, которые достаточно трудно реализуются на практике, например в p-волновых сверхпроводниках, полупроводниках в режиме дробного квантового эффекта Холла с фактором заполнением 5/2, на поверхности топологических изоляторов с использованием эффекта близости от s-волновых сверхпроводников, либо используя эффект близости между сверхпроводником и ферромагнетиком. С другой стороны, в 2010 году опубликовали две статьи, которые показали, как создать майорановские фермионы в полупроводниковых нанопроволоках.

Игрушечная модель Китаева

Рис. 1. Разбиение фермионов (первый ряд) на «полуфермионы» или майорановские фермионы в игрушечной модели Китаева в топологически тривиальном (второй ряд) и топологически нетрививальном (третий ряд) случаях.

Алексей Китаев предложил рассмотреть гамильтониан бесспинового в терминах вторичного квантования

${\displaystyle H_{K}=\sum _{j=1}^{N}\left(-t(a_{j}^{\dagger }a_{j+1}+a_{j+1}^{\dagger }a_{j})-\mu \left(a_{j}^{\dagger }a_{j}-{\frac {1}{2}}\right)+\Delta e^{i\theta }a_{j}a_{j+1}+\Delta e^{-i\theta }a_{j+1}^{\dagger }a_{j}^{\dagger }\right)\,,}$

где t — интеграл перескока, μ — химический потенциал, Δ и θ — амплитуда и фаза параметра порядка. Можно ввести следующие майорановские фермионные операторы для этой задачи ${\displaystyle c_{2j-1}=e^{i\theta /2}a_{j}+e^{-i\theta /2}a_{j}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle c_{2j}=-i\left(e^{i\theta /2}a_{j}-e^{-i\theta /2}a_{j}^{\dagger }\right)}$, которые приводят к новому виду гамильтониана

${\displaystyle H_{K}={\frac {-i}{2}}\sum _{j=1}^{N}\mu c_{2j-1}c_{2j}+{\frac {i}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}[(t+\Delta )c_{2j}c_{2j+1}+(-t+\Delta )c_{2j-1}c_{2j+2}]\,.}$

Теперь рассмотрим два предельных случая что проиллюстрировано на рис. 1: в первом случае химический потенциал меньше нуля, μ<0, а остальные параметры обращаются в ноль, Δ=t=0. Тогда спаривание полуфермионов в фермионы происходит тривиальным образом для каждого узла цепочки. Во втором случае, когда химический потенциал равен нулю, μ=0, а интеграл перескока и параметр порядка равны, Δ=t>0, то сумма превращается в слагаемые спаривающие полуфермионы в соседних узлах, причём крайние полуфермионы выпадают из суммы и образуют дважды вырожденный уровень при нуле энергии. Эти два узла можно превратить в обычный фермион сильно нелокальной природы ${\displaystyle f=1/2(c_{1}+ic_{N})}$. А гамильтониан приобретает обычный диагональный вид при преобразовании ${\displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}+ic_{2j+1})}$, ${\displaystyle d_{j}=1/2(c_{2j}-ic_{2j+1})}$:

${\displaystyle H_{t}=2t\sum _{j=1}^{L-1}\left(d_{j}^{\dagger }d_{j}-{\frac {1}{2}}\right)\,.}$

Фактически эта задача не имеет отношения к реальности, но показывает как получить майорановские связные состояния и какой гамильтониан во взаимодействующей системе должен появиться. В качестве возможного материала для реализации майорановских состояний Китаев предложил использовать нанопроволоки из p-волнового сверхпроводника, то есть одномерные сверхпроводники с триплетным состояниями куперовских пар.

Полупроводниковые нанопроволоки

Рис. 2. Формирование топологического закона дисперсии с использованием ур. 2 при последовательном включении спин-орбитального взаимодействия, сверхпроводимости и приложении магнитного поля

В работах 2010 года наметился путь реализации майорановских фермионов на практике. Основное достижение заключалось в понимании влияния различных эффектов на майорановские связные состояния. В работе рассматривался гамильтониан (постоянная Планка равна единице) вида

${\displaystyle H=\int \Psi ^{\dagger }\left[\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)\tau _{z}\otimes \sigma _{0}+\alpha k\tau _{z}\otimes \sigma _{z}+\Delta _{Z}\tau _{0}\otimes \sigma _{x}+\Delta _{sc}\tau _{x}\otimes \sigma _{0}\right]\Psi dy,}$ (1)

где волновая функция имеет вид ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }=(\psi _{\uparrow }^{\dagger },\psi _{\downarrow }^{\dagger },\psi _{\downarrow },-\psi _{\uparrow })}$. Первое слагаемое в подынтегральном выражении отвечает за кинетическую энергию частиц с учётом химического потенциала, второе — спин-орбитальное взаимодействие, третье — зеемановская энергия, четвёртое — сверхпроводимость. Нанопроволока ориентирована в направлении y, спин-орбитальное взаимодействие вдоль x, а магнитное поле вдоль z. Матрицы Паули ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \tau }$ действуют в спиновом пространстве и в пространстве частиц-античастиц. Индекс 0 отвечает за единичную матрицу. Гамильтониан имеет собственные значения вида

${\displaystyle E_{\pm }^{2}=\Delta _{Z}^{2}+\Delta _{sc}^{2}+\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}+(\alpha k)^{2}\pm 2{\sqrt {\Delta _{Z}^{2}\Delta _{sc}^{2}+\left({\frac {k^{2}}{2m}}-\mu \right)^{2}\left((\alpha k)^{2}+\Delta _{Z}^{2}\right)}}.}$ (2)

Вблизи нуля волнового вектора возникает запрещённая зона ${\displaystyle \Delta =|\Delta _{Z}-{\sqrt {\Delta _{sc}^{2}+\mu ^{2}}}|}$. Когда выполняется условие ${\displaystyle \Delta _{Z}>{\sqrt {\Delta _{sc}^{2}+\mu ^{2}}}}$ говорят о возникновении топологически нетривиальной фазы, а точка, где ширина зоны равна нулю — точкой топологического фазового перехода. Она разделяет топологически тривиальную и нетривиальную фазы. Когда выполняется условие на существование топологически нетривиальной фазы на обоих краях нанопроволоки возникают майорановские связанные состояния при нуле энергии. На рис. 2 показано как возникает четыре ветви дисперсионных соотношений из уравнения 2 при последовательном включении взаимодействий. Спин-орбитальное взаимодействие вида αk приводит к расщеплению параболического закона дисперсии для нанопроволоки. При добавлении сверхпроводимости добавляется электрон-дырочная симметрия, что удваивает количество дисперсионных кривых и возникает сверхпроводящая щель ${\displaystyle \Delta _{sc}}$ в спектре возбуждений. При приложении магнитного поля появляется зеемановское расщепление уровней ${\displaystyle \Delta _{Z}}$, которое работает против сверхпроводимости и закрывает щель. При равенстве ${\displaystyle \Delta _{Z}=\Delta _{sc}}$ (химический потенциал ${\displaystyle \mu =0}$) достигается точка фазового перехода и щель пропадает, но при дальнейшем увеличении магнитного поля щель появляется вновь. Эта щель соответствует состоянию топологической сверхпроводимости.

Модель Фу — Кейна

В двумерном случае реализация майорановских фермионов оказалась возможна в модели предложенной учёными и Чарльзом Кейном в 2008 году. Использовав модель топологического изолятора (проводимость в таких материалах существует только на поверхности) с нанесённым на его поверхность тонкого слоя сверхпроводника s-типа, они рассмотрели гамильтониан для волновой функции (в формализме Намбу) ${\displaystyle \Psi =((\psi _{\uparrow },\psi _{\downarrow }),(\psi _{\uparrow }^{\dagger },-\psi _{\downarrow }^{\dagger }))^{T}}$, где стрелками обозначены проекции спина, а индекс T отвечает за транспонирование, вида

${\displaystyle H=-iv\tau ^{z}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}-\mu I\tau ^{z}+\Delta _{0}I(\tau ^{x}\cos(\phi )+\tau ^{y}\sin(\phi ))\,,}$

где v — скорость электрона на уровне энергии Ферми (фермиевская скорость), I — единичная матрица, σ=(σ^x,σ^y) — двумерный вектор составленный из матриц Паули, действующие на спиновые состояния, τ^x и τ^y — матрицы Паули действующие на пары ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$, смешивая их между собой, μ — химический потенциал, Δ₀ — параметр порядка сверхпроводника. Блочная часть гамильтониана ${\displaystyle H_{0}=-iv{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}-\mu I}$ — это гамильтониан для квазичастиц возникающий на поверхности топологического изолятора. Куперовские пары из сверхпроводника из-за эффекта близости могут находиться на поверхности топологического изолятора, приводя к эффективному гамильтониану взаимодействию аналогичному сверхпроводнику p-типа, где по теории Китаева существуют майорановские фермионы. Отличие состоит в симметрии этого гамильтониана по отношению к обращению времени, что приводит к дополнительному . Но используя внешнее магнитное поле ориентированное перпендикулярно поверхности сверхпроводника, которое нарушает симметрию по обращению времени, возможно сформировать сверхпроводящие вихри в рассматриваемой системе. Расчёт показывает, что майорановский фермион возникает в ядре вихря.

Примечания

1. E. Majorana.  // Nuovo Cimento. — 1937. — Vol. 14. — P. 171.
2. Elliott & Franz, 2015, с. 138.
3. Elliott & Franz, 2015, с. 139.
4. Rodejohann, Werner. Neutrino-less double beta decay and particle physics (англ.) // ^[англ.] : journal. — 2011. — Vol. E20, no. 9. — P. 1833—1930. — doi:10.1142/S0218301311020186. — Bibcode: 2011IJMPE..20.1833R. — arXiv:1106.1334.
5. Schechter, J.; Valle, J. W. F. Neutrinoless double-β decay in SU(2) × U(1) theories (англ.) // Physical Review D : journal. — 1982. — Vol. 25, no. 11. — P. 2951—2954. — doi:10.1103/PhysRevD.25.2951. — Bibcode: 1982PhRvD..25.2951S.
6. Palash B. Pal. Dirac, Majorana, and Weyl fermions // Am. J. Phys.. — 2011. — Т. 79. — С. 485. — doi:10.1119/1.3549729. — arXiv:1006.1718.
7. Kayser, Boris; Goldhaber, Alfred S. CPT and CP properties of Majorana particles, and the consequences (англ.) // Physical Review D : journal. — 1983. — Vol. 28, no. 9. — P. 2341—2344. — doi:10.1103/PhysRevD.28.2341. — Bibcode: 1983PhRvD..28.2341K.
8. Radescu, E. E. On the electromagnetic properties of Majorana fermions (англ.) // Physical Review D : journal. — 1985. — Vol. 32, no. 5. — P. 1266—1268. — doi:10.1103/PhysRevD.32.1266. — Bibcode: 1985PhRvD..32.1266R.
9. Boudjema, F.; Hamzaoui, C.; Rahal, V.; Ren, H. C. Electromagnetic Properties of Generalized Majorana Particles (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1989. — Vol. 62, no. 8. — P. 852—854. — doi:10.1103/PhysRevLett.62.852. — Bibcode: 1989PhRvL..62..852B. — PMID 10040354.
10. Pospelov, Maxim; ter Veldhuis, Tonnis. Direct and indirect limits on the electro-magnetic form factors of WIMPs (англ.) // Physics Letters B : journal. — 2000. — Vol. 480, no. 1—2. — P. 181—186. — doi:10.1016/S0370-2693(00)00358-0. — Bibcode: 2000PhLB..480..181P. — arXiv:hep-ph/0003010.
11. Ho, Chiu Man; Scherrer, Robert J. Anapole Dark Matter (англ.) // Physics Letters B : journal. — 2013. — Vol. 722, no. 8. — P. 341—346. — doi:10.1016/j.physletb.2013.04.039. — Bibcode: 2013PhLB..722..341H. — arXiv:1211.0503.
12. GERDA Collaboration. Results on Neutrinoless Double-β Decay of ⁷⁶Ge from Phase I of the GERDA Experiment // Phys. Rev. Lett.. — 2013. — Т. 111. — С. 122503. — doi:10.1103/PhysRevLett.111.122503. — arXiv:1307.4720. Архивировано 14 июля 2019 года.
13. GERDA, 2018.
14. GERDA Collaboration. Improved Limit on Neutrinoless Double-β Decay of ⁷⁶Ge from GERDA Phase II // Phys. Rev. Lett.. — 2018. — Т. 120. — С. 132503. — doi:10.1103/PhysRevLett.120.132503. Архивировано 11 февраля 2019 года.
15. KamLAND-Zen Collaboration, S. Abe, S. Asami, M. Eizuka, S. Futagi, A. Gando, Y. Gando, T. Gima, A. Goto, T. Hachiya, K. Hata, S. Hayashida, K. Hosokawa, K. Ichimura, S. Ieki, H. Ikeda, K. Inoue, K. Ishidoshiro, Y. Kamei, N. Kawada, Y. Kishimoto, M. Koga, M. Kurasawa, N. Maemura, T. Mitsui, H. Miyake, T. Nakahata, K. Nakamura, K. Nakamura, R. Nakamura, H. Ozaki, T. Sakai, H. Sambonsugi, I. Shimizu, J. Shirai, K. Shiraishi, A. Suzuki, Y. Suzuki, A. Takeuchi, K. Tamae, K. Ueshima, H. Watanabe, Y. Yoshida, S. Obara, A. K. Ichikawa, D. Chernyak, A. Kozlov, K. Z. Nakamura, S. Yoshida, Y. Takemoto, S. Umehara, K. Fushimi, K. Kotera, Y. Urano, B. E. Berger, B. K. Fujikawa, J. G. Learned, J. Maricic, S. N. Axani, J. Smolsky, Z. Fu, L. A. Winslow, Y. Efremenko, H. J. Karwowski, D. M. Markoff, W. Tornow, S. Dell’Oro, T. O’Donnell, J. A. Detwiler, S. Enomoto, M. P. Decowski, C. Grant, A. Li, H. Song. Search for the Majorana Nature of Neutrinos in the Inverted Mass Ordering Region with KamLAND-Zen // Physical Review Letters. — 2023-01-30. — Т. 130, вып. 5. — С. 051801. — doi:10.1103/PhysRevLett.130.051801.
16. Sato M., Ando Y. Топологические сверхпроводники: обзор. // Rep. Prog. Phys.. — 2017. — Т. 80. — С. 076501. — doi:10.1088/1361-6633/aa6ac7. — arXiv:1608.03395.
17. Pal, 2011.
18. Elliott & Franz, 2015, с. 141.
19. Elliott & Franz, 2015, с. 144.
20. Elliott & Franz, 2015, с. 140.
21. V. Mourik, K. Zuo, S. M. Frolov, S. R. Plissard, E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenhoven. Signatures of Majorana Fermions in Hybrid Superconductor-Semiconductor Nanowire Devices // Science. — 2012. — Т. 336. — С. 1003—1007. — doi:10.1126/science.1222360. — arXiv:1204.2792. Архивировано 27 ноября 2020 года.
22. A. D. K. Finck et al. Anomalous Modulation of a Zero-Bias Peak in a Hybrid Nanowire-Superconductor Device // Phys. Rev. Lett. — 2013. — Vol. 110. — P. 126406. — doi:10.1103/PhysRevLett.110.126406.
23. Mourik et al., 2012, с. 1007.
24. Davide Castelvecchi. Evidence of elusive Majorana particle dies — but computing hope lives on // Nature. — 2021. — Т. 591. — С. 354—355. — doi:10.1038/d41586-021-00612-z. Архивировано 22 марта 2021 года.
25. Kitaev A. Yu. Unpaired Majorana fermions in quantum wires = Неспаренные майорановские фермионы в квантовых проволоках // Phys.-Usp.. — 2001. — Т. 44. — С. 131. — doi:10.1070/1063-7869/44/10S/S29. — arXiv:cond-mat/0010440.
26. Fu L., Kane C. L. Сверхпроводящий эффект близости и майорановские фермионы на поверхности топологического изолятора = Superconducting Proximity Effect and Majorana Fermions at the Surface of a Topological Insulator // Phys. Rev. Lett.. — 2008. — Т. 100. — С. 096407. — doi:10.1103/PhysRevLett.100.096407. — arXiv:0707.1692. Архивировано 14 октября 2017 года.
27. Oreg Y., Refael G., von Oppen F. Helical Liquids and Majorana Bound States in Quantum Wires // Phys. Rev. Lett.. — 2010. — Т. 105. — С. 177002. — doi:10.1103/PhysRevLett.105.177002. — arXiv:1003.1145. Архивировано 31 декабря 2018 года.
28. Lutchyn R. M., Sau J. D., Das Sarma S. Майорановские фермионы и топологический фазовый переход в гетероструктурах полупроводник-сверхпроводник. = Majorana Fermions and a Topological Phase Transition in Semiconductor-Superconductor Heterostructures // Phys. Rev. Lett.. — 2010. — Т. 105. — С. 077001. — doi:10.1103/PhysRevLett.105.077001. — arXiv:1002.4033. Архивировано 31 декабря 2018 года.
29. Kitaev A., 2001, с. 133.
30. Kitaev A., 2001.
31. Kitaev A., 2001, с. 132.
32. Oreg Y., 2010, с. 177002.
33. Lutchyn R. M., 2010, с. 077001.
34. Fu & Kane, 2008.
35. Fu & Kane, 2008, с. 1.

Литература

• Steven R. Elliott, Marcel Franz. Colloquium: Majorana fermions in nuclear, particle, and solid-state physics // Rev. Mod. Phys.. — 2015. — Т. 87. — С. 137—163. — doi:10.1103/RevModPhys.87.137. — arXiv:1403.4976.