Математическая статистика
Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, дающую возможность оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).
Предмет и методы
Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений, математическая статистика делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.
Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчёт выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.
Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.
Большой раздел современной математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный вклад в создание и развитие которого внёс А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объёма, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение о проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией оптимальной остановки.
В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.
Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.
Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки метода наименьших квадратов К. Гауссом, А.-М. Лежандром и Р. Эдрейном на рубеже XVIII и XIX веков.
Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда Карл Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ и многочисленные нелинейные обобщения.
Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.
В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).
См. также
- Прикладная статистика
- Статистические методы
- Статистическая оценка
- Теория вероятностей
- Теория принятия решений
- Факторный анализ
- Эконометрика
Примечания
- Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю. Д. Максимова. — СПб.: «Иван Фёдоров», 2001. — С. 400. — 592 с. — ISBN 5-81940-050-X.
- Многомерный статистический анализ : [арх. 6 октября 2022] / С. А. Айвазян // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- Харман Г., Современный факторный анализ. — М.: Статистика, 1972. — 486 с.
- Gorban A. N., Kegl B., Wunsch D., Zinovyev A. Y. (Eds.), Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction Архивная копия от 6 марта 2019 на Wayback Machine, Series: Lecture Notes in Computational Science and Engineering 58, Springer, Berlin — Heidelberg — New York, 2007, XXIV, 340 p. 82 illus. ISBN 978-3-540-73749-0 (а также онлайн Архивная копия от 16 марта 2019 на Wayback Machine).
Литература
- Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
- Вальд А. Последовательный анализ, пер. с англ. — М.: Физматгиз, 1960.
- Математическая статистика : [арх. 3 января 2023] / Ю. В. Прохоров // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Математическая статистика. : учеб. пособие. — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2004. ISBN 5-94073-087-6.
- Самыловский А. И. Математические модели и методы для социологов : учебник для студентов ВУЗов … по спец. 040200 — «Социология». — Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, Социологический фак. — М. : Кн. Дом Ун-т, 2009. — 21 см. Кн. 2: Математическая статистика. — 153 с.; ISBN 978-5-98227-653-7
- Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
- Остапенко Р. И. Математические основы психологии : учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов психологических и педагогических специальностей вузов. — Воронеж: ВГПУ, 2010. — 76 с.: ил. — ISBN 978-5-88519-680-2
- Орлов А.И. Искусственный интеллект: нечисловая статистика : учебник. — М.: Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 446 c. — ISBN 978-5-4497-1435-0 [1]
- Орлов А.И. Прикладной статистический анализ : учебник. — М.: Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 812 c. — ISBN 978-5-4497-1480-0 [2]
Ссылки
- Шкалы измерения
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Математическая статистика, Что такое Математическая статистика? Что означает Математическая статистика?
Matemati cheskaya stati stika nauka razrabatyvayushaya matematicheskie metody sistematizacii i ispolzovaniya statisticheskih dannyh dlya nauchnyh i prakticheskih vyvodov Primer linii krasnaya postroennoj s ispolzovaniem linejnoj regressii Vo mnogih svoih razdelah matematicheskaya statistika opiraetsya na teoriyu veroyatnostej dayushuyu vozmozhnost ocenit nadyozhnost i tochnost vyvodov delaemyh na osnovanii ogranichennogo statisticheskogo materiala naprimer ocenit neobhodimyj obyom vyborki dlya polucheniya rezultatov trebuemoj tochnosti pri vyborochnom obsledovanii Predmet i metodyMatematicheskaya statistika razdel matematiki razrabatyvayushij metody registracii opisaniya i analiza dannyh nablyudenij i eksperimentov s celyu postroeniya veroyatnostnyh modelej massovyh sluchajnyh yavlenij V zavisimosti ot matematicheskoj prirody konkretnyh rezultatov nablyudenij matematicheskaya statistika delitsya na statistiku chisel mnogomernyj statisticheskij analiz analiz funkcij processov i vremennyh ryadov statistiku obektov nechislovoj prirody Vydelyayut opisatelnuyu statistiku teoriyu ocenivaniya i teoriyu proverki gipotez Opisatelnaya statistika est sovokupnost empiricheskih metodov ispolzuemyh dlya vizualizacii i interpretacii dannyh raschyot vyborochnyh harakteristik tablicy diagrammy grafiki i t d kak pravilo ne trebuyushih predpolozhenij o veroyatnostnoj prirode dannyh Nekotorye metody opisatelnoj statistiki predpolagayut ispolzovanie vozmozhnostej sovremennyh kompyuterov K nim otnosyatsya v chastnosti klasternyj analiz nacelennyj na vydelenie grupp obektov pohozhih drug na druga i mnogomernoe shkalirovanie pozvolyayushee naglyadno predstavit obekty na ploskosti Metody ocenivaniya i proverki gipotez opirayutsya na veroyatnostnye modeli proishozhdeniya dannyh Eti modeli delyatsya na parametricheskie i neparametricheskie V parametricheskih modelyah predpolagaetsya chto harakteristiki izuchaemyh obektov opisyvayutsya posredstvom raspredelenij zavisyashih ot odnogo ili neskolkih chislovyh parametrov Neparametricheskie modeli ne svyazany so specifikaciej parametricheskogo semejstva dlya raspredeleniya izuchaemyh harakteristik V matematicheskoj statistike ocenivayut parametry i funkcii ot nih predstavlyayushie vazhnye harakteristiki raspredelenij naprimer matematicheskoe ozhidanie mediana standartnoe otklonenie kvantili i dr plotnosti i funkcii raspredeleniya i pr Ispolzuyut tochechnye i intervalnye ocenki Bolshoj razdel sovremennoj matematicheskoj statistiki statisticheskij posledovatelnyj analiz fundamentalnyj vklad v sozdanie i razvitie kotorogo vnyos A Vald vo vremya Vtoroj mirovoj vojny V otlichie ot tradicionnyh neposledovatelnyh metodov statisticheskogo analiza osnovannyh na sluchajnoj vyborke fiksirovannogo obyoma v posledovatelnom analize dopuskaetsya formirovanie massiva nablyudenij po odnomu ili bolee obshim obrazom gruppami pri etom reshenie o provedenii sleduyushego nablyudeniya gruppy nablyudenij prinimaetsya na osnove uzhe nakoplennogo massiva nablyudenij Vvidu etogo teoriya posledovatelnogo statisticheskogo analiza tesno svyazana s teoriej optimalnoj ostanovki V matematicheskoj statistike est obshaya teoriya proverki gipotez i bolshoe chislo metodov posvyashyonnyh proverke konkretnyh gipotez Rassmatrivayut gipotezy o znacheniyah parametrov i harakteristik o proverke odnorodnosti to est o sovpadenii harakteristik ili funkcij raspredeleniya v dvuh vyborkah o soglasii empiricheskoj funkcii raspredeleniya s zadannoj funkciej raspredeleniya ili s parametricheskim semejstvom takih funkcij o simmetrii raspredeleniya i dr Bolshoe znachenie imeet razdel matematicheskoj statistiki svyazannyj s provedeniem vyborochnyh obsledovanij so svojstvami razlichnyh shem organizacii vyborok i postroeniem adekvatnyh metodov ocenivaniya i proverki gipotez Zadachi vosstanovleniya zavisimostej aktivno izuchayutsya bolee 200 let s momenta razrabotki metoda naimenshih kvadratov K Gaussom A M Lezhandrom i R Edrejnom na rubezhe XVIII i XIX vekov Razrabotka metodov approksimacii dannyh i sokrasheniya razmernosti opisaniya byla nachata bolee 100 let nazad kogda Karl Pirson sozdal metod glavnyh komponent Pozdnee byli razrabotany faktornyj analiz i mnogochislennye nelinejnye obobsheniya Razlichnye metody postroeniya klaster analiz analiza i ispolzovaniya diskriminantnyj analiz klassifikacij tipologij imenuyut takzhe metodami raspoznavaniya obrazov s uchitelem i bez avtomaticheskoj klassifikacii i dr V nastoyashee vremya kompyutery igrayut bolshuyu rol v matematicheskoj statistike Oni ispolzuyutsya kak dlya raschyotov tak i dlya imitacionnogo modelirovaniya v chastnosti v metodah razmnozheniya vyborok i pri izuchenii prigodnosti asimptoticheskih rezultatov Sm takzhePrikladnaya statistika Statisticheskie metody Statisticheskaya ocenka Teoriya veroyatnostej Teoriya prinyatiya reshenij Faktornyj analiz EkonometrikaPrimechaniyaVeroyatnostnye razdely matematiki Pod red Yu D Maksimova SPb Ivan Fyodorov 2001 S 400 592 s ISBN 5 81940 050 X Mnogomernyj statisticheskij analiz arh 6 oktyabrya 2022 S A Ajvazyan Bolshaya rossijskaya enciklopediya v 35 t gl red Yu S Osipov M Bolshaya rossijskaya enciklopediya 2004 2017 Harman G Sovremennyj faktornyj analiz M Statistika 1972 486 s Gorban A N Kegl B Wunsch D Zinovyev A Y Eds Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction Arhivnaya kopiya ot 6 marta 2019 na Wayback Machine Series Lecture Notes in Computational Science and Engineering 58 Springer Berlin Heidelberg New York 2007 XXIV 340 p 82 illus ISBN 978 3 540 73749 0 a takzhe onlajn Arhivnaya kopiya ot 16 marta 2019 na Wayback Machine LiteraturaVeroyatnost i matematicheskaya statistika Enciklopediya Gl red Yu V Prohorov M Izd vo Bolshaya Rossijskaya Enciklopediya 1999 Vald A Posledovatelnyj analiz per s angl M Fizmatgiz 1960 Matematicheskaya statistika arh 3 yanvarya 2023 Yu V Prohorov Bolshaya rossijskaya enciklopediya v 35 t gl red Yu S Osipov M Bolshaya rossijskaya enciklopediya 2004 2017 Natan A A Gorbachyov O G Guz S A Matematicheskaya statistika ucheb posobie M MZ Press MFTI 2004 ISBN 5 94073 087 6 Samylovskij A I Matematicheskie modeli i metody dlya sociologov uchebnik dlya studentov VUZov po spec 040200 Sociologiya Moskovskij gos un t im M V Lomonosova Sociologicheskij fak M Kn Dom Un t 2009 21 sm Kn 2 Matematicheskaya statistika 153 s ISBN 978 5 98227 653 7 Shiryaev A N Statisticheskij posledovatelnyj analiz Optimalnye pravila ostanovki M Nauka 1976 Ostapenko R I Matematicheskie osnovy psihologii uchebno metodicheskoe posobie dlya studentov i aspirantov psihologicheskih i pedagogicheskih specialnostej vuzov Voronezh VGPU 2010 76 s il ISBN 978 5 88519 680 2 Orlov A I Iskusstvennyj intellekt nechislovaya statistika uchebnik M Aj Pi Ar Media 2022 446 c ISBN 978 5 4497 1435 0 1 Orlov A I Prikladnoj statisticheskij analiz uchebnik M Aj Pi Ar Media 2022 812 c ISBN 978 5 4497 1480 0 2 Imeetsya vikiuchebnik po teme Matematika sluchaya SsylkiShkaly izmereniya
