Нильпотентный элемент - NiNa.Az

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр.

Определение

Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что ${\displaystyle x^{n}=0}$.

Минимальное значение ${\displaystyle n}$, для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента ${\displaystyle a}$.

Примеры

• Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам. Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

нильпотентна, поскольку ${\displaystyle A^{3}=0}$. Подробнее в статье Нильпотентная матрица.

• В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 3²сравнимо с 0 по модулю 9.
• Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию ${\displaystyle ab=0}$. Тогда элемент ${\displaystyle c=ba}$ нильпотентен, поскольку ${\displaystyle c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0}$. Пример для матриц (в качестве a и b):

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Здесь ${\displaystyle AB=0,BA=B}$.

• Кольцо ^[англ.] содержит конус нильпотентных элементов.

• По определению любой элемент ^[англ.] нильпотентен.

Свойства

• Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент 0 = 1). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля.

• Матрица A размером n-на-n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен ${\displaystyle t^{n}}$.

• Если элемент x нильпотентен, то ${\displaystyle 1-x}$ является обратимым элементом, поскольку из ${\displaystyle x^{n}=0}$ следует:

  ${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$

• Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Коммутативные кольца

Нильпотентные элементы коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ образуют идеал ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$, что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент ${\displaystyle x}$ в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ этого кольца, поскольку ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$. Таким образом, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент ${\displaystyle x}$ не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$, чтобы получить ненулевое кольцо ${\displaystyle S^{-1}R}$. Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кольца ${\displaystyle R}$ с ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент ${\displaystyle x}$ не содержится в некотором простом идеале. Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ является в точности пересечением всех простых идеалов.

Характеристика, подобная и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы Алгебры Ли

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — Алгебра Ли. Тогда элемент ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется нильпотентным, если он в ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ и ${\displaystyle \operatorname {ad} x}$ является нильпотентным преобразованием. См. также ^[англ.].

Нильпотентность в физике

Операнд Q, удовлетворяющий условию ${\displaystyle Q^{2}=0}$ нильпотентен. ^[англ.], которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, такой, что ${\displaystyle Q^{n}=0}$ (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с ${\displaystyle n=2}$). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса как показал Эдвард Виттен в признанной статье.

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах ^[англ.]. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Алгебраические нильпотенты

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают ^[англ.] (кокватернионы), ^[англ.], бикватернионы ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ и комплексные октанионы ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$.

См. также

• Идемпотентный элемент
• Унипотентный элемент
• ^[англ.]
• ^[англ.]

Примечания

1. Milies, Sehgal, 2002, с. 127.
2. Математическая энциклопедия, 1977—1985.
3. Matsumura, 1970, с. 6.
4. Atiyah, MacDonald, 1994, с. 5.
5. Peirce, 1870.
6. Milies, Sehgal, 2002.
7. Rogers, 2000, с. 3703–3714.
8. Witten, 1982, с. 661–692.
9. Rowlands, 2007.

Литература

• Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.

• Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. An Introduction to Group Rings. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. — ISBN 978-1-4020-0238-0.
• Hideyuki Matsumura. Chapter 1: Elementary Results // Commutative Algebra. — W. A. Benjamin, 1970. — ISBN 978-0-805-37025-6.
• Atiyah M. F., MacDonald I. G. Chapter 1: Rings and Ideals // Introduction to Commutative Algebra. — Westview Press, 1994. — ISBN 978-0-201-40751-8.
  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва: «Мир», 1972.
• Peirce B. Linear Associative Algebra. — 1870.
• A. Rogers. The topological particle and Morse theory // Class. Quantum Grav. — 2000. — Вып. 17. — doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.
• E. Witten. Supersymmetry and Morse theory // J.Diff.Geom. — 1982. — Вып. 17.
• Rowlands P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics. — London: World Scientific, 2007. — ISBN 978-981-270-914-1.