Тождество Эйлера - NiNa.Az

Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера, что породило шуточное фольклорное правило: «В математике принято называть открытие именем второго человека, который его сделал — иначе пришлось бы всё называть именем Эйлера».

1,2-метровый рефлектор «Леонард Эйлер» обсерватории Ла-Силья (Чили)

Теоремы

• Теорема Эйлера в теории чисел — обобщение малой теоремы Ферма.
• Теорема вращения Эйлера — утверждение, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси.
• Теорема Эйлера в планиметрии — зависимость между радиусами вписанной и описанной окружностей треугольника.
• Теорема Эйлера о четырёхугольниках — связь между сторонами выпуклого четырёхугольника и его диагоналями.
• Пентагональная теорема Эйлера о производящей функции для числа разбиений.
• Гипотеза Эйлера в теории чисел — утверждение, что для любого натурального числа ${\displaystyle n>2}$ никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы из ${\displaystyle (n-1)}$ натуральных чисел, возведённых в ${\displaystyle n}$-ю степень. Опровергнуто.
• Теорема Эйлера для многогранников — связь между числом вершин, рёбер и граней многогранника. Также имеет смысл для планарного графа.
• Теорема Эйлера для однородных функций — утверждение, что дифференцируемая функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ является однородной с порядком однородности ${\displaystyle q}$, тогда и только тогда, когда выполнено соотношение Эйлера: ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

Уравнения

• Уравнения Эйлера — Лагранжа — основные формулы вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов, зависящих от неизвестной функции и её производной.
• Уравнения Эйлера — Пуассона — обобщение уравнения Эйлера — Лагранжа на случай, когда функционал зависит от неизвестной функции и её производных выше первого порядка.
• Уравнения Эйлера (механика твёрдого тела) — описывают вращение твердого тела.
• Уравнение Эйлера (гидродинамика) — описывает движение идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости или газа.
• Уравнение Коши — Эйлера — линейное дифференциальное уравнение определённого типа, допускающее явное решение.
• (коллинеарные точки).
•  — описывает равновесие балки.

Функции

• Функция Эйлера ${\displaystyle \varphi (n)}$ — количество натуральных чисел, не превосходящих ${\displaystyle n}$ и взаимно простых с ним. *:${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),\;\;n>1,}$

где ${\displaystyle p}$ — простое число и пробегает все значения, участвующие в разложении ${\displaystyle n}$ на простые сомножители.

•  — модулярная функция ${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\;|q|\leq 1}$. Является классическим примером, показывающим связь между комбинаторикой и комплексным анализом.

Тождества

• Тождество Эйлера в теории чисел
• Тождество Эйлера в комплексном анализе — частный случай формулы Эйлера, связывающий пять фундаментальных чисел математики.
• Тождество Эйлера о кватернионах, «тождество Эйлера о четырёх квадратах» (алгебра) — теорема о том, что произведение сумм четырёх квадратов является суммой четырёх квадратов.
• в алгебре многочленов — соотношение

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\equiv kF}$,

которое справедливо для любой алгебраической формы (однородного многочлена) ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ степени ${\displaystyle k}$.

Формулы

• Формула Эйлера (комплексный анализ) связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

  ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

• Формула Эйлера в дифференциальной геометрии:

  ${\displaystyle \kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha }$,

где ${\displaystyle \kappa _{e}}$ — кривизна нормального сечения поверхности в направлении ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ — главные кривизны (с соответствующими главными направлениями ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$), ${\displaystyle \alpha }$ — угол между направлениями ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle e_{1}}$.

• Формула Эйлера в кинематике связывает скорости двух точек твёрдого тела:

  ${\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}}$.

• Формула Эйлера (механика трения качения в витках): ${\displaystyle F=fe^{k\alpha }}$, связывает зависимость силы трения от числа оборотов (витков); ${\displaystyle F}$ — сила, против которой направлено наше усилие ${\displaystyle f}$ (наприм., подъёмная сила кранов с наматывающимся тросом), ${\displaystyle e}$ — основание натуральных логарифмов, ${\displaystyle k}$ — коэффициент трения между верёвкой (тросом, швартовами, талями) и наматывающей поверхностью (цилиндром-сваей, фрикционным колесом, воротом, кабестаном), ${\displaystyle \alpha }$ — «угол навивания», то есть отношение длины дуги, охваченной верёвкой (числа оборотов), к радиусу этой дуги (см. также радиан).
• Формула Эйлера для суммы первых ${\displaystyle n}$ членов гармонического ряда.
• Формула Эйлера в теории графов, связывающая количество вершин, рёбер и граней планарного графа

  ${\displaystyle |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2.}$

• Формула Эйлера для треугольника — формула для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
• Формула Эйлера для четырёхугольника — выражение для расстояния между серединами диагоналей — его учетверённый квадрат равен сумме квадратов четырёх сторон четырёхугольника минус сумма квадратов двух его диагоналей. Как частный случай, из неё можно получить: тождество параллелограмма, длину медианы треугольника.
• Формула Эйлера для радиальных турбин и центробежных насосов

Интегралы

• Бета-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) первого рода.
• Гамма-функция — эйлеров интеграл (интеграл Эйлера) второго рода.
• Интеграл Эйлера — Пуассона (так называемый гауссов интеграл).

Числа

• Постоянная Эйлера — Маскерони — предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.
• Число e — основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число.
• Число Эйлера — безразмерный коэффициент, имеющий место в уравнениях Навье — Стокса, описывающий отношение между силами давления на единичный объём жидкости (или газа) и инерционными силами.
• Эйлеровы числа
• Числа Эйлера I рода
• Числа Эйлера II рода
• ^[англ.]
• Счастливое число Эйлера
• Целое число Эйлера (целое число Эйзенштейна)

Прочие математические понятия

• в теории цепных дробей — определение периода бесконечной цепной дроби.
• Эйлерова характеристика в алгебраической топологии — топологический инвариант.
• Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве.
• .
•  — интегральное преобразование.
• Прямая Эйлера (геометрия треугольника) — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.
• Окружность Эйлера, «окружность девяти точек» — в геометрии треугольника окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.
• Круги Эйлера — геометрическая схема для отображения отношения между подмножествами.
• Критерий Эйлера, определяющий, является ли целое число квадратичным вычетом по модулю простого числа.
• Эйлеров путь (теория графов) — путь в графе, проходящий по всем рёбрам графа и притом только по одному разу. О связанных понятиях: эйлеров цикл, эйлеров граф, полуэйлеров граф см. ту же статью.
•  — периодический идеальный сплайн минимальной нормы.
• Эйлерова сила — в механике такая сила, которая при сжимании стержня вызовет потерю его устойчивости (продольный изгиб).
• Подстановки Эйлера — замены переменных, решающие некоторые виды интегралов.
• Группа Эйлера — мультипликативная группа кольца вычетов по модулю ${\displaystyle n}$, обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }}$ или ${\displaystyle \Gamma (n)}$.
• Спираль Эйлера — другое название клотоиды (спирали Корню).
• Метод Эйлера — численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
• Оператор Эйлера — дифференциальный оператор ${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}}$.

Прочее

• Эйлер — астероид главного пояса, открытый 29 августа 1973 года российским астрономом Тамарой Смирновой в Крымской астрофизической обсерватории.
•  — кратер ударного происхождения на видимой части Луны, диаметр 28 км.
•  — неофициальная олимпиада, заменяющая региональный и заключительный этапы Всероссийской олимпиады школьников по математике для 8-х классов.
• Золотая медаль имени Леонарда Эйлера — награда, присуждаемая Академией наук СССР (впоследствии — Российской академии наук) за выдающиеся заслуги в математике и физике; с 1957 по 2022 год всего 8 награждённых.
•  — ежегодная награда за достижения по комбинаторике, ежегодно присуждаемая с 1993 года канадским (англ. Institute of Combinatorics and its Applications).
•  — награда, присуждаемая Пермским государственным университетом за заслуги в физико-математическом образовании Пермского края.
• «Проект Эйлер» — проект в Интернете, объединяющий сотни тысяч любителей математики и программирования.
• Диск Эйлера — научная игрушка, используемая для изучения динамических систем.
• Международный математический институт имени Эйлера
• ^[англ.] — язык программирования, разработанный в 1965 году Никлаусом Виртом и , предшественник Паскаля.
• ^[англ.] — программный пакет для численных методов.
• EulerOS и  — дистрибутивы Linux, разрабатываемые корпорацией Huawei.
• ^[англ.] — шрифт, разработанный Херманом Цапфом при участии Дональда Кнута, широко используемый в документах на ΤΕΧ, в материалах Американского математического общества (AMS); впервые был использован в книге Кнута «Конкретная математика», посвящённой Эйлеру.

Примечания

1. Colin Beveridge. Cracking Mathematics. — London: Cassell Illustrated; UK, 2016. — P. 215. — 499 p. — (Cracking). — ISBN 978-1844038626.
2. При пеньковом канате и деревянной свае (тумбе), когда коэффициент трения ${\displaystyle k}$ больше, усилие потребуется до смешного ничтожное, лишь бы тумба была прочной и веревка (канат) были достаточно крепкими и могли выдержать натяжение.
   Перельман Я. И. Занимательная физика. в 2-х кн. Кн. 2 / Под ред. А. В. Митрофанова. — 22-е изд., стер. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — с. 35-37. — 272 с.
   Ландау Л. Д., Китайгородский А. И. Физика для всех: Физические тела. — 5-е изд., испр. — М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1982. — с. 31-32, 132—133. — 208 с.
3. Исаак Кушнир. Геометрия. Поиск и вдохновение (Геометрия на баррикадах). — Litres, 2015-11-13. — С. 306. — 593 с. — ISBN 9785457918894.
4. последовательность A000926 в OEIS
5. Арнольд В. И. Группы Эйлера и арифметика геометрических прогрессий : [арх. 17 мая 2017]. — М. : Издательство МЦНМО, 2003. — ISBN 5-94057-141-7.