Треугольник Паскаля - NiNa.Az

Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в исламском мире, Индии, Китае, Германии и Италии. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

Первые 15 строк треугольника Паскаля

История

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год

Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времён Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля. Позднее треугольник также исследовался Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (перс. مثلث خیام‎). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается также в комментарии индийского математика X века ^[англ.] к трудам другого математика, Пингалы^{[неавторитетный источник]}. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя (кит. 杨辉三角; 楊輝三角).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют треугольником Тартальи, поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из ^[нем.], также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его «таблицей сочетаний г-на Паскаля» (фр. table de M. Pascal pour les combinaisons), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его «арифметическим треугольником Паскаля» (лат. Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM), что стало основой современного западного названия.

Обозначения и свойства

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ или ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ и читаются как «число сочетаний из n элементов по k».

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
  • первое и последнее числа равны 1;
  • второе и предпоследнее числа равны n;
  • третье число равно треугольному числу ${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$, что также равно сумме номеров предшествующих строк;
  • четвёртое число является тетраэдрическим;
  • m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$.
• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

  ${\displaystyle {\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.}$

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна ${\displaystyle 2^{n}}$.
• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом (следствие теоремы Люка).
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на единицу меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Выборочное вычисление значений

Существуют простые алгоритмы для вычисления всех элементов ряда или диагонали без предварительного расчёта всех остальных элементов предыдущих рядов или факториалов.

Чтобы рассчитать ряд ${\displaystyle n}$ с элементами ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$, начните с ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$. Теперь, для каждого последующего элемента, рассчитайте его значение умножая предыдущий результат на дробь с постепенно меняющимися числителем и знаменателем:

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}$

Например, для расчёта значений ряда номер 5, дроби будут иметь следующие значения  ${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$,  ${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}$,  ${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$,  ${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$ и ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$, и следовательно элементы ряда  ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$,   ${\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}$,   ${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}$, и так далее. (Оставшиеся элементы легко получить с помощью симметрии.)

Для расчёта элементов диагоналей ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,}$ начните снова с ${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$ и получите последующие элементы путём умножения на определённые дроби:

${\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}$

Например, для расчёта диагонали начиная с ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}$, дроби будут следующими  ${\displaystyle {\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots }$, и следовательно элементы получатся ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}$, и так далее. По симметрии эти элементы равны ${\displaystyle {\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}}$, и так далее.

Цитаты

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребёнок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.Мартин Гарднер

См. также

• Треугольник Серпинского
• Гипотеза Сингмастера
• Треугольник Хосойя

Примечания

1. J. L. Coolidge. The Story of the Binomial Theorem // The American Mathematical Monthly. — 1949-03. — Т. 56, вып. 3. — С. 147. — doi:10.2307/2305028. — JSTOR 2305028.
2. Helen M. Johnson, Maurice Winternitz, S. Ketkar, H. Kohn. A History of Indian Literature. Vol. II. Buddhist Literature and Jain Literature // Journal of the American Oriental Society. — 1936-09. — Т. 56, вып. 3. — С. 371. — ISSN 0003-0279. — doi:10.2307/593985.
3. Cambridge University Library: the great collections / Peter Fox. — Cambridge, UK ; New York: Cambridge University Press, 1998. — 231 с. — ISBN 978-0-521-62636-1, 978-0-521-62647-7.
4. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
5. Selin, Helaine. Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures : [англ.]. — Springer Science & Business Media, 2008-03-12. — P. 132. — ISBN 9781402045592.
6. The Development of Arabic Mathematics Between Arithmetic and Algebra - R. Rashed "Page 63"
7. Sidoli, Nathan. From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren : [англ.] / Nathan Sidoli, Glen Van Brummelen. — Springer Science & Business Media, 2013-10-30. — P. 54. — ISBN 9783642367366.
8. Pisipati S. S. The knpwn srcret
9. О. В. Кузьмин. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109. Архивировано 29 октября 2013 года.
10. Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft. — 2003. — № 10. Архивировано 21 апреля 2010 года.
11. (January 1996). The Binomial Coefficient Function. The American Mathematical Monthly. 103 (1): 1–17. doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. See in particular p. 11.
12. Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
13. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с.

Литература

• Паскаля треугольник // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 230-232. — 352 с.
• Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17—25.
• Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). — 200 000 экз.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Построение треугольника Паскаля