Функции Бесселя - NiNa.Az

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

График функций Бесселя первого рода

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle (-\alpha )}$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ${\displaystyle \alpha }$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$, являются решения, конечные в точке ${\displaystyle x=0}$ при целых или неотрицательных ${\displaystyle \alpha }$. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ${\displaystyle \alpha }$):

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.}$

Здесь ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}$, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к ${\displaystyle \pi }$ при ${\displaystyle x\to \infty }$).

Ниже приведены графики ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$:

График функции Бесселя первого рода J

Если ${\displaystyle \alpha }$ не является целым числом, функции ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ и ${\displaystyle J_{-\alpha }(x)}$ линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если ${\displaystyle \alpha }$ целое, то верно следующее соотношение:

${\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).}$

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений ${\displaystyle \alpha }$, используя интегральное представление:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau .}$

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .}$

Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых ${\displaystyle \alpha }$ необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является ${\displaystyle 2\pi }$-периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle 1}$, где ${\textstyle \varphi =-\pi }$, окружность единичного радиуса и луч от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle +\infty }$ при ${\textstyle \varphi =\pi }$. Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(x\sin(\varphi )-\alpha \varphi )}d\varphi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r}})}}{{}r^{\alpha +1}}}dr.}$

Нетрудно убедиться, что при целых ${\displaystyle \alpha }$ это выражение переходит в предыдущую формулу.

Функции Неймана

Функции Неймана — решения ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ уравнения Бесселя, бесконечные в точке ${\displaystyle x=0}$.

Эта функция связана с ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ следующим соотношением:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},}$

где в случае целого ${\displaystyle \alpha }$ берётся предел по ${\displaystyle \alpha }$, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

${\displaystyle y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).}$

Ниже приведён график ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$:

График функции Бесселя второго рода N

В ряде книг функции Неймана обозначаются ${\displaystyle N_{\alpha }(x)}$.

Сферические функции Бесселя

Сферические функции Бесселя первого рода, j_n(x), для n = 0, 1, 2

Сферические функции Бесселя второго рода, y_n(x), для n = 0, 1, 2

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных уравнение на радиальную часть имеет вид

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$

Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя j_n и y_n, и связаны с обычными функциями Бесселя J_n и Неймана Y_n с помощью

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$

y_n также обозначается n_n или η_n; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана.

Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея)

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$

Несколько первых сферических функций Бесселя:

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}},\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$

и Неймана:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$

Производящие функции

Производящие функции сферических функций Бесселя:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$

Дифференциальные соотношения

В следующих формулах f_n может быть заменено на j_n, y_n, h(1)
n, h(2)
n, где h(1)
n и h(2)
n — сферические функции Ханкеля, для n = 0, ±1, ±2, ...:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$

Свойства

Ортогональность

Пусть ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ — нули функции Бесселя ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$. Тогда:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.}$.

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах ${\displaystyle (0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})}$ и неотрицательных ${\displaystyle \alpha }$ они выглядят так:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha },}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов (${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$) формулы выглядят так:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:

${\displaystyle J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos(x-{\frac {\pi }{4}})+{\frac {1}{4x{\sqrt {2\pi x}}}}\sin(x-{\frac {\pi }{4}}).}$

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).}$

Таким образом, при целых ${\displaystyle \alpha }$ функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

${\displaystyle e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.}$

Соотношения

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней

Получается из выражения для производящей функции при ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle w=e^{i\phi }}$:

${\displaystyle e^{iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )+2i\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi .}$

При ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle t=ie^{i\phi }}$:

${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos(n\phi ).}$

Рекуррентные соотношения

Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:

${\displaystyle J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x}}J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);}$

${\displaystyle J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);}$

${\displaystyle J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)}$.

Теорема сложения

Для любого целого n и комплексных ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ выполняется

${\displaystyle J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{n-k}(z_{2}).}$

Интегральные выражения

Для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (в том числе комплексных) выполняется

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.}$

Частным случаем последней формулы является выражение

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{0}(bt)\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

См. также

• Цилиндрические функции
• Сферические функции
• Модифицированные функции Бесселя
• Функции Ганкеля
• Луч Бесселя

Примечания

1. Зубов В. И. . Функции Бесселя. — М.: МФТИ, 2007. Архивировано 24 июня 2016 года.
2. Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1 Архивная копия от 2 сентября 2006 на Wayback Machine.
3. Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26 Архивная копия от 21 декабря 2009 на Wayback Machine.
4. Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11 Архивная копия от 30 апреля 2009 на Wayback Machine.
5. Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.12 Архивная копия от 30 апреля 2009 на Wayback Machine.
6. Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39 Архивная копия от 21 декабря 2009 на Wayback Machine.
7. Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.23, 10.1.24 Архивная копия от 22 декабря 2019 на Wayback Machine.
8. Arfken G. B., Hans J. W. . Mathematical Methods for Physicists. 6th ed. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0.
9. Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15.
10. В. С. Гаврилов и др. Функции Бесселя в задачах математической физики Архивная копия от 26 ноября 2019 на Wayback Machine, стр. 7
11. Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 670.
12. Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 671.

Литература

• Ватсон Г. . Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. . Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. . Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.