Функция Морса - NiNa.Az

Функция Морса ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки.

Линии уровня у морсовской функции на торе с четырьмя критическими точками

Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии.

Определение

Пусть ${\displaystyle W}$ ― гладкое многообразие, край которого ${\displaystyle \partial W}$ является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий ${\displaystyle F_{0}}$ и ${\displaystyle F_{1}}$. Функция Морса триады ${\displaystyle (W;F_{0},F_{1})}$ ― такая гладкая класса ${\displaystyle C^{2}}$ функция ${\displaystyle f:W\to [a,b]}$, ${\displaystyle -\infty <a,b<+\infty }$ (или ${\displaystyle f:W\to [a,\infty ]}$) при ${\displaystyle F_{1}=\varnothing }$, что:

1. ${\displaystyle F_{0}=f^{-1}(a),F_{1}=f^{-1}(b),}$
2. все критические точки функции ${\displaystyle f}$ лежат в ${\displaystyle W\backslash \partial W=f^{-1}(a,b)}$ и невырождены.

Свойства

• Если многообразие ${\displaystyle W}$ конечномерно, то для ${\displaystyle k\geqslant 2}$ множество функций Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности.
• В пространстве всех ${\displaystyle C^{k}}$-гладких (${\displaystyle k\geqslant 2}$) функций

  ${\displaystyle f:(W,F_{0},F_{1})\to ([a,b],a,b)}$

множество функций Морса является плотным открытым множеством.

Вариации и обобщения

Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора) многообразия. При этом требуется дополнительное условие:

• (условие Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве ${\displaystyle K\subset W}$, где функция ${\displaystyle f}$ ограничена, а нижняя грань функции ${\displaystyle |df(x)|}$ равна нулю, существует критическая точка функции ${\displaystyle f}$.

Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.

В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра

См. также

• Граф Риба

Примечания

1. V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology — Prentice-Hall, New York, NY, 1974.