Электрический импеданс - NiNa.Az

Термин «Сопротивление» имеет также другие значения.

Электри́ческий импеда́нс (ко́мплексное электри́ческое сопротивле́ние) (англ. impedance от лат. impedio «препятствовать») — комплексное сопротивление между двумя узлами цепи или двухполюсника для гармонического сигнала.

Понятие и термин ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году.

Аналогия с электрическим сопротивлением проводника на примере резистора

См. также: Электрическое сопротивление

Резистор — пассивный элемент, обладающий исключительно активным сопротивлением. Реактивная составляющая комплексного сопротивления резистора равна нулю, так как соотношение между напряжением на резисторе и током через него не зависит от частоты тока/напряжения, а также из-за того, что резистор является пассивным элементом (поскольку не содержит внутренних источников энергии). Если к его концам приложить некоторое напряжение ${\displaystyle U}$ (подсоединить источник напряжения), то через резистор пойдёт электрический ток ${\displaystyle I.}$ Если через резистор пропустить электрический ток ${\displaystyle I}$ (подсоединить источник тока), то между концами резистора возникнет падение напряжения ${\displaystyle U.}$ Резистор характеризуется электрическим сопротивлением, которое равно отношению напряжения ${\displaystyle U,}$ к току ${\displaystyle I}$ (см. закон Ома для участка цепи):

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}.}$

Применение понятия «электрическое сопротивление» к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) при постоянном токе приводит к тому, что:

• сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю:

если пропустить через идеальную катушку индуктивности некоторый постоянный ток I, то при любом значении I, падение напряжения на катушке будет нулевым:

${\displaystyle U=0;}$

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {0}{I}}=0;}$

• сопротивление идеального конденсатора стремится к бесконечности:

если приложить к конденсатору некоторое постоянное напряжение ${\displaystyle U,}$ то при любом значении ${\displaystyle U,}$ ток через конденсатор будет нулевым:

${\displaystyle I=0;}$

${\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {U}{0}}=\infty .}$

Это справедливо лишь для постоянного тока и напряжения. В случае же приложения к реактивному элементу переменного тока и напряжения, свойства реактивных элементов существенно иные:

• напряжение между выводами катушки индуктивности не равно нулю;
• ток, протекающий через конденсатор, не будет равен нулю.

Такое поведение не может быть описано в терминах активного сопротивления для постоянного тока, поскольку активное сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов между током и напряжением.

Было бы удобно иметь некоторый параметр, аналогичный активному сопротивлению и для реактивных элементов, который бы связывал ток и напряжение на них подобно активному сопротивлению в формуле закона Ома для постоянного тока.

Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при воздействиях на них гармонических сигналов. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некой константой (подобной в некотором смысле активному сопротивлению), которая и получила название «электрический импеданс» (или просто «импеданс»). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно в таком представлении одновременно учитываются и амплитудные, и фазовые характеристики гармонических сигналов и откликов систем на гармоническое воздействие.

Определение

Импедансом ${\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;}$ называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник в установившемся режиме, то есть после завершения переходных процессов. Для линейных пассивных цепей с постоянными параметрами в установившемся режиме импеданс не зависит от времени. Если время ${\displaystyle t}$ в математическом выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

${\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;={\frac {{\hat {u}}(j\omega ,t)\;}{{\hat {i}}(j\omega ,t)\;}}={\frac {U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}{I(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{i}(\omega ))}}}={\frac {U(\omega )e^{j\phi _{u}(\omega )}}{I(\omega )e^{j\phi _{i}(\omega )}}}={\frac {{\hat {U}}(j\omega )\;}{{\hat {I}}(j\omega )\;}},}$

(1)

где ${\displaystyle j}$ — мнимая единица;

${\displaystyle \omega }$ — циклическая (круговая) частота;

${\displaystyle U(\omega ),~I(\omega )}$ — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega ;}$

${\displaystyle \phi _{u}(\omega ),~\phi _{i}(\omega )}$ — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega ;}$

${\displaystyle {\hat {U}}(j\omega ),~{\hat {I}}(j\omega )\;}$ — комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте ${\displaystyle \omega .}$

Исторически сложилось, что в электротехнике обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплексных функций частоты записывают как ${\displaystyle f(j\omega ),}$ а не ${\displaystyle f(\omega ).}$ Такое обозначение подчёркивает, что используются комплексные представления гармонических функций вида ${\displaystyle e^{j\omega t}.}$ Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: ${\displaystyle {\dot {U}}(j\omega )\;}$ чтобы отличать от соответствующих действительных величин.

Физический смысл

Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть двухполюсник с импедансом ${\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;}$ можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением ${\displaystyle \Re ({\hat {z}}(j\omega ))}$ и чисто реактивный элемент с импедансом ${\displaystyle \Im ({\hat {z}}(j\omega )).}$

Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма

Пример графического представление импеданса на комплексной плоскости

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько фаза тока отстаёт от фазы напряжения или опережает.

Ограничения

Понятие импеданса в классической форме применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным и его параметры не менялись со временем и закончились переходные процессы. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени ${\displaystyle t,}$ поскольку при вычислении импеданса множитель ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ в (1) не сокращается.

• Однако и для линейных двухполюсников (для которых зависимость от времени сокращается) импеданс всё же зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в  — для бесконечно малой амплитуды сигнала для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для неё.

Обобщённый импеданс в s-плоскости и преобразование Лапласа

Импедансы, определённые через комплексную частоту ${\displaystyle j\omega ,}$ позволяют вычислять частотный отклик некоторой линейной цепи, возбуждаемой гармоническим сигналом, причём только в установившемся режиме. Для расчёта отклика цепи на сигнал, произвольно изменяющийся во времени применяется обобщённый импеданс — функции комплексной переменной ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ и отклик цепи во временно́й области вычисляется через обратное преобразование Лапласа, причём в таких вычислениях возбуждающий сигнал ${\displaystyle f_{in}(t)}$ из временного представления должен быть предварительно преобразован в комплексное представление ${\displaystyle F_{t}(s)}$ через прямое преобразование Лапласа:

${\displaystyle F_{t}(s)=\int _{0}^{\infty }f_{in}(t)e^{-st}\,dt.}$

Комплексный отклик системы выражается обычным способом через преобразованное комплексное представление возбуждающего сигнала и комплексную передаточную функцию системы ${\displaystyle H(s):}$

${\displaystyle F_{t,H}(s)=H(s)\ F_{t}(s).}$

Двухполюсник	Обобщённый импеданс
Резистор	${\displaystyle R\,}$
Катушка индуктивности	${\displaystyle sL\,}$
Конденсатор	${\displaystyle {\frac {1}{sC}}\,}$

Комплексная передаточная функция вычисляется обычным методом расчёта электрических цепей, например, по правилам Кирхгофа, в формулы в качестве сопротивлений подставляются обобщённые импедансы. Обобщённые импедансы пассивных двухполюсников приведены в таблице. Например, обобщённый импеданс цепи, состоящей из последовательно включённых резистора и катушки индуктивности будет ${\displaystyle R+sL.}$

Отклик цепи во временно́й области вычисляется обратным преобразованием Лапласа:

${\displaystyle f_{F,H}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H(s)\ F_{t}(s)]={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}H(s)\ F_{t}(s)\,ds,}$

где ${\displaystyle \sigma _{1}\ }$ — некоторое вещественное число, выбираемое из условий сходимости интеграла.

Пример вычисления временно́го отклика RC-фильтра нижних частот на ступенчатое возмущение

Пассивный RС-фильтр нижних частот 1-го порядка

Простейший фильтр нижних частот 1-го порядка изображён на рисунке и состоит из последовательно соединённых резистора и конденсатора, образующего делитель напряжения для входного сигнала где выходной сигнал снимается с конденсатора, обобщённый комплексный коэффициент передачи ${\displaystyle H_{RC}(s)}$ такого делителя:

${\displaystyle H_{RC}(s)={\frac {1/sC}{R+1/sC}}={\frac {1}{sRC+1}}={\frac {1}{sT+1}},}$

где обозначено ${\displaystyle T=RC}$ — постоянная времени RС-цепи.

Ступенчатый входной сигнал ${\displaystyle U_{e}(t)}$ можно выразить через функцию Хевисайда ${\displaystyle h(t):}$

${\displaystyle U_{e}(t)=U_{0}\ h(t),}$

где ${\displaystyle U_{0}}$ — амплитуда ступеньки.

Преобразование Лапласа входного сигнала:

${\displaystyle F_{in}(s)={\mathcal {L}}[U_{0}\ h(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\,U_{0}\,h(t)\,dt=U_{0}/s.}$

Выходной сигнал ${\displaystyle U_{a}(t):}$

${\displaystyle U_{a}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)]={\frac {1}{2\pi j}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}{\frac {1}{sT+1}}\cdot {\frac {U_{0}}{s}}\,ds=U_{0}(1-e^{-t/T}).}$

Таким образом, получен отклик цепи при нулевом начальном условии (${\displaystyle U_{C}=0}$ при ${\displaystyle t=0}$), такой же, как и при применении другого метода расчёта, например, из решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Для практического применения расчёта цепей (и других расчётов) составлены подробные таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа многих часто встречающихся при расчётах функций.

Комбинируя преобразование Лапласа с использованием его свойств и интеграл Дюамеля обычно относительно легко найти отклики во временной области самых различных линейных электрических цепей.

Вычисление импеданса

Идеальные элементы

Резистор

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению ${\displaystyle R}$ и не зависит от частоты:

${\displaystyle z_{R}=R.}$

(2)

Конденсатор

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

${\displaystyle i(t)=C{\frac {dU}{dt}}.}$

(3)

Отсюда следует, что при напряжении

${\displaystyle {\hat {u}}(j\omega ,t)=U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}$

(4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:

${\displaystyle {\hat {i}}(j\omega ,t)=C{\frac {d}{dt}}\left(U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}\right)=j\omega CU(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}.}$

(5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

${\displaystyle {\hat {z}}_{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}.}$

(6)

Катушка индуктивности

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

${\displaystyle {\hat {z}}_{L}(j\omega )\;=j\omega L.}$

(7)

Общий случай

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведённые выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс идеальных последовательно соединённых резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

${\displaystyle {\hat {Z}}(j\omega )\ =R+{\frac {1}{j\omega C}}+j\omega L=R-{\frac {j}{\omega C}}+j\omega L=R+j\left(-{\frac {1}{\omega C}}+\omega L\right).}$

(8)

Экспериментальное измерение импеданса

Прямое измерение импеданса требует измерения амплитуд синусоидальных напряжения и тока изучаемого двухполюсника, и одновременного измерения сдвига фазы между ними.

Импеданс также часто измеряют компенсационными методами с помощью мостов переменного тока, подобными мосту Уитстона для постоянного тока, при таких измерениях мост балансируют изменением эталонных реактивного и активного элементов, по величине реактивного и активного сопротивления эталонных элементов, требуемого для балансировки моста, определяется измеряемый импеданс.

В силовых устройствах измерение импеданса может потребовать одновременного измерения и подачи питания на работающее устройство.

Измерение импеданса устройств и линий передач является практической задачей в радиотехнике и других областях.

Измерения импеданса обычно проводятся на одной частоте, но если требуется определить зависимость импеданса от частоты, то измерения проводят на нескольких частотах в нужном диапазоне частот.

Активная и реактивная составляющие импеданса обычно выражают в омах. Однако, для характеризации антенн, линиях передачи, СВЧ электронных устройств обычно более удобно использовать связанные с ним S-параметры, коэффициент стоячей волны или коэффициент отражения.

Сопротивление устройства можно рассчитать путём деления комплексных напряжения и тока. Полное сопротивление устройства рассчитывается путём подачи синусоидального напряжения на устройство последовательно с эталонным резистором и измерения напряжений на резисторе и на самом устройстве. Выполнение этого измерения на нескольких частотах тестирующего сигнала обеспечивает определение фазового сдвига и величины импеданса.

Измерение отклика исследуемой цепи на импульсный тестирующий сигнал можно использовать в сочетании с быстрым преобразованием Фурье для измерения импеданса различных электрических устройств.

LCR-измеритель (индуктивность L, ёмкость C и сопротивление R) или измеритель иммитанса — это устройство, обычно используемое для измерения индуктивности, сопротивления и ёмкости компонента. Из этих значений можно рассчитать полное сопротивление на любой частоте.

Применение понятия импеданса

Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого применяется преобразование Лапласа, либо сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье (или преобразования Фурье) и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал .

См. также

• Внутреннее сопротивление
• Адмиттанс
• АФЧХ

Примечания

1. ГОСТ 19880-74 Электротехника. Основные понятия. Термины и определения  (неопр.). docs.cntd.ru. Дата обращения: 7 ноября 2018. Архивировано 14 мая 2016 года.
2. ГОСТ Р 52002-2003 Электротехника. Термины и определения основных понятий  (неопр.). docs.cntd.ru. Дата обращения: 21 сентября 2020. Архивировано 16 марта 2018 года.
3. Science, p. 18, 1888
4. Oliver Heaviside. The Electrician. P. 212; 23 July 1886 reprinted as Electrical Papers, p64, AMS Bookstore, ISBN 0-8218-3465-7
5. В электротехнике и электронике мнимую единицу принято обозначать символом ${\displaystyle j,}$ во избежание путаницы с символом ${\displaystyle i,}$ традиционно применяемым для обозначения силы тока.
6. George Lewis Jr. Cost-effective broad-band electrical impedance spectroscopy measurement circuit and signal analysis for piezo-materials and ultrasound transducers (англ.) // ^[англ.] : journal. — 2008. — August (vol. 19, no. 10). — P. 105102. — doi:10.1088/0957-0233/19/10/105102. — Bibcode: 2008MeScT..19j5102L. — PMID 19081773.

Литература

• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — 9-е изд. — М.: Высшая школа, 1996.
• Графов Б. М., Укше Е. А. Электрохимические цепи переменного тока. — М.: Наука, 1983.