Аналитическая геометрия
Аналити́ческая геоме́трия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.
В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом в 1637 году. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Такой метод «алгебраизации» геометрических свойств доказал свою универсальность и плодотворно применяется во многих естественных науках и в технике. В математике аналитическая геометрия является также основой для других разделов геометрии — например, дифференциальной, алгебраической, комбинаторной и вычислительной геометрии.
Историческая справка
Идея координат и уравнения кривой была не чужда ещё древним грекам. Архимед, и особенно Аполлоний Пергский, в своих сочинениях приводили так называемые симптомы конических сечений, которые в ряде случаев совпадают с нашими уравнениями. Однако дальнейшего развития эта идея тогда не получила по причине невысокого уровня древнегреческой алгебры и слабого интереса к кривым, отличным от прямой и окружности.
Потом в Европе использовал координатное изображение (для функции, зависящей от времени) Николай Орезмский (XIV век), который называл координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. К этому времени развитое понятие о координатах уже существовало в астрономии и географии. Решающий шаг был сделан после того, как Виет (XVI век) сконструировал символический язык для записи уравнений и положил начало системной (символической) алгебре.
Около 1637 года Ферма распространил через Мерсенна мемуар «Введение в изучение плоских и телесных мест», где выписал (в символике Виета) уравнения различных кривых 2-го порядка в прямоугольных координатах. Для упрощения вида уравнений он широко использовал преобразование координат. Ферма наглядно показал, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического. Однако мемуар Ферма широкой известностью не пользовался. Гораздо большее влияние имела «Геометрия» Декарта, вышедшая в том же 1637 году, которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи.
Декарт включил в геометрию более широкий класс кривых, в том числе «механические» (трансцендентные, вроде спирали), и провозгласил, что у каждой кривой есть определяющее уравнение. Он построил такие уравнения для алгебраических кривых и провёл их классификацию (позже основательно переделанную Ньютоном). Декарт подчеркнул, хотя и не доказал, что основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат.
Система координат у Декарта была перевёрнута по сравнению с современной (ось ординат горизонтальна), и отрицательные координаты не рассматривались. Термины «абсцисса» и «ордината» изредка встречались у разных авторов, хотя в широкое употребление их ввёл только Лейбниц в конце XVII века, вместе с термином «координаты». Название «Аналитическая геометрия» утвердилось в самом конце XVIII века.
Декарт поместил в «Геометрию» множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немало результатов, неизвестных древним. Возможные пространственные применения он также упомянул, но эта идея не получила у него развития.
Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение ван Схоутен, Валлис и многие другие видные математики. Они комментировали и дополняли идеи «Геометрии», исправляли её недочёты, применяли новый метод в других задачах. Например, Валлис впервые рассмотрел конические сечения как плоские кривые (1655 год), причём, в отличие от Декарта, он уже использовал отрицательные абсциссы и косоугольные координаты.
Ньютон не только опирался на координатный метод в своих работах по анализу, но и продолжил геометрические исследования Декарта. Он классифицировал кривые 3-го порядка, выделив 4 типа и 58 видов; позже он добавил ещё 14. Эти результаты были получены около 1668 года, опубликованы вместе с его «Оптикой» в 1704 году. Система координат Ньютона уже ничем не отличается от современной. Для каждой кривой определяются диаметр, ось симметрии, вершины, центр, асимптоты, особые точки и т. п.
В своих «Началах» Ньютон старался всё доказывать в манере древних, без координат и бесконечно малых; однако несколько применений новых методов там всё же имеется. Гораздо бо́льшую роль аналитическая геометрия играет в его «Всеобщей арифметике», хотя там Ньютон в большинстве случаев не посчитал нужным привести доказательства, чем обеспечил работой на долгие годы целую армию комментаторов.
В первой половине XVIII века в основном продолжалось изучение алгебраических кривых высших порядков; Стирлинг обнаружил 4 новых типа, не замеченных Ньютоном. Были выявлены и классифицированы особые точки.
Клеро в 1729 году представил Парижской академии «Исследования о кривых двоякой кривизны». Эта книга по существу положила начало трем геометрическим дисциплинам: аналитической геометрии в пространстве, дифференциальной геометрии и начертательной геометрии.
Общую и очень содержательную теорию кривых и поверхностей (преимущественно алгебраических) предложил Эйлер. В своём «Введении в анализ бесконечно малых» (1748) он дал классификацию кривых 4-го порядка и показал, как определить радиус кривизны. Там, где это удобно, он использовал косоугольные или полярные координаты. Отдельная глава посвящена неалгебраическим кривым.
Во второй половине XVIII века аналитическая геометрия, получив мощную поддержку зрелого анализа, завоевала новые вершины (Лагранж, Монж), однако рассматривается уже скорее как аппарат дифференциальной геометрии.
Разделы
Основные разделы аналитической геометрии (согласно книге Н. В. Ефимова).
- Системы координат
- Прямоугольная система координат
- Полярная система координат
- Преобразование координат
- Элементы линейной алгебры
- Линейные операции над векторами
- Произведения векторов
- Матрицы и операции над ними
- Определители
- Обратная матрица и ранг матрицы
- Системы линейных алгебраических уравнений
- Кривые первого порядка
- Прямая на плоскости
- Прямая и плоскость в пространстве
- Кривые второго порядка
- Окружность
- Коническое сечение
- Спираль
- Пространственные тела
- Поверхности второго порядка
- Цилиндр
- Сфера
- Конус
- Шар
См. также
Примечания
- Погорелов А. В., 1968, с. 7.
- Stillwell, John. Analytic Geometry // Mathematics and its History. — Second Edition. — Springer Science + Business Media Inc., 2004. — С. 105. — ISBN 0-387-95336-1.. — «the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.».
- [англ.]. The Calculus // The History of Mathematics: A Brief Course (англ.). — Wiley-Interscience, 1997. — P. 326. — ISBN 0-471-18082-3.. — «The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.».
Литература
- Бортаковский А. С., Пантелеев А. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 2005. — 496 с. (Серия «Прикладная математика»).
- Веселов А. П., Троицкий Е. В. Лекции по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.
- Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия, в двух томах. — М., Л.: Гостехиздат, 1948, 1949.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
- История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах.
- История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
- Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
- Канатников А. Н., Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 388 с. — ISBN 5-7038-1671-8.
- Мордухай-Болтовской Д. Д. Из прошлого аналитической геометрии // Труды института истории естествознании Акад. наук СССР, 1952, т. 4, с. 217—235.
- Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1968. — 176 с.
- Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра (pdf) — 544 с. ISBN 978-5-7417-0378-6 (на портале автора)
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Аналитическая геометрия, Что такое Аналитическая геометрия? Что означает Аналитическая геометрия?
Analiti cheskaya geome triya razdel geometrii v kotorom geometricheskie figury i ih svojstva issleduyutsya sredstvami algebry Dekartova sistema koordinat V osnove etogo metoda lezhit tak nazyvaemyj metod koordinat vpervye primenyonnyj Dekartom v 1637 godu Kazhdomu geometricheskomu sootnosheniyu etot metod stavit v sootvetstvie nekotoroe uravnenie svyazyvayushee koordinaty figury ili tela Takoj metod algebraizacii geometricheskih svojstv dokazal svoyu universalnost i plodotvorno primenyaetsya vo mnogih estestvennyh naukah i v tehnike V matematike analiticheskaya geometriya yavlyaetsya takzhe osnovoj dlya drugih razdelov geometrii naprimer differencialnoj algebraicheskoj kombinatornoj i vychislitelnoj geometrii Istoricheskaya spravkaIdeya koordinat i uravneniya krivoj byla ne chuzhda eshyo drevnim grekam Arhimed i osobenno Apollonij Pergskij v svoih sochineniyah privodili tak nazyvaemye simptomy konicheskih sechenij kotorye v ryade sluchaev sovpadayut s nashimi uravneniyami Odnako dalnejshego razvitiya eta ideya togda ne poluchila po prichine nevysokogo urovnya drevnegrecheskoj algebry i slabogo interesa k krivym otlichnym ot pryamoj i okruzhnosti Potom v Evrope ispolzoval koordinatnoe izobrazhenie dlya funkcii zavisyashej ot vremeni Nikolaj Orezmskij XIV vek kotoryj nazyval koordinaty po analogii s geograficheskimi dolgotoj i shirotoj K etomu vremeni razvitoe ponyatie o koordinatah uzhe sushestvovalo v astronomii i geografii Reshayushij shag byl sdelan posle togo kak Viet XVI vek skonstruiroval simvolicheskij yazyk dlya zapisi uravnenij i polozhil nachalo sistemnoj simvolicheskoj algebre Okolo 1637 goda Ferma rasprostranil cherez Mersenna memuar Vvedenie v izuchenie ploskih i telesnyh mest gde vypisal v simvolike Vieta uravneniya razlichnyh krivyh 2 go poryadka v pryamougolnyh koordinatah Dlya uprosheniya vida uravnenij on shiroko ispolzoval preobrazovanie koordinat Ferma naglyadno pokazal naskolko novyj podhod proshe i plodotvornej chisto geometricheskogo Odnako memuar Ferma shirokoj izvestnostyu ne polzovalsya Gorazdo bolshee vliyanie imela Geometriya Dekarta vyshedshaya v tom zhe 1637 godu kotoraya nezavisimo i gorazdo bolee polno razvivala te zhe idei Dekart vklyuchil v geometriyu bolee shirokij klass krivyh v tom chisle mehanicheskie transcendentnye vrode spirali i provozglasil chto u kazhdoj krivoj est opredelyayushee uravnenie On postroil takie uravneniya dlya algebraicheskih krivyh i provyol ih klassifikaciyu pozzhe osnovatelno peredelannuyu Nyutonom Dekart podcherknul hotya i ne dokazal chto osnovnye harakteristiki krivoj ne zavisyat ot vybora sistemy koordinat Sistema koordinat u Dekarta byla perevyornuta po sravneniyu s sovremennoj os ordinat gorizontalna i otricatelnye koordinaty ne rassmatrivalis Terminy abscissa i ordinata izredka vstrechalis u raznyh avtorov hotya v shirokoe upotreblenie ih vvyol tolko Lejbnic v konce XVII veka vmeste s terminom koordinaty Nazvanie Analiticheskaya geometriya utverdilos v samom konce XVIII veka Dekart pomestil v Geometriyu mnozhestvo primerov illyustriruyushih ogromnuyu mosh novogo metoda i poluchil nemalo rezultatov neizvestnyh drevnim Vozmozhnye prostranstvennye primeneniya on takzhe upomyanul no eta ideya ne poluchila u nego razvitiya Analiticheskij metod Dekarta nemedlenno vzyali na vooruzhenie van Shouten Vallis i mnogie drugie vidnye matematiki Oni kommentirovali i dopolnyali idei Geometrii ispravlyali eyo nedochyoty primenyali novyj metod v drugih zadachah Naprimer Vallis vpervye rassmotrel konicheskie secheniya kak ploskie krivye 1655 god prichyom v otlichie ot Dekarta on uzhe ispolzoval otricatelnye abscissy i kosougolnye koordinaty Nyuton ne tolko opiralsya na koordinatnyj metod v svoih rabotah po analizu no i prodolzhil geometricheskie issledovaniya Dekarta On klassificiroval krivye 3 go poryadka vydeliv 4 tipa i 58 vidov pozzhe on dobavil eshyo 14 Eti rezultaty byli polucheny okolo 1668 goda opublikovany vmeste s ego Optikoj v 1704 godu Sistema koordinat Nyutona uzhe nichem ne otlichaetsya ot sovremennoj Dlya kazhdoj krivoj opredelyayutsya diametr os simmetrii vershiny centr asimptoty osobye tochki i t p V svoih Nachalah Nyuton staralsya vsyo dokazyvat v manere drevnih bez koordinat i beskonechno malyh odnako neskolko primenenij novyh metodov tam vsyo zhe imeetsya Gorazdo bo lshuyu rol analiticheskaya geometriya igraet v ego Vseobshej arifmetike hotya tam Nyuton v bolshinstve sluchaev ne poschital nuzhnym privesti dokazatelstva chem obespechil rabotoj na dolgie gody celuyu armiyu kommentatorov V pervoj polovine XVIII veka v osnovnom prodolzhalos izuchenie algebraicheskih krivyh vysshih poryadkov Stirling obnaruzhil 4 novyh tipa ne zamechennyh Nyutonom Byli vyyavleny i klassificirovany osobye tochki Klero v 1729 godu predstavil Parizhskoj akademii Issledovaniya o krivyh dvoyakoj krivizny Eta kniga po sushestvu polozhila nachalo trem geometricheskim disciplinam analiticheskoj geometrii v prostranstve differencialnoj geometrii i nachertatelnoj geometrii Obshuyu i ochen soderzhatelnuyu teoriyu krivyh i poverhnostej preimushestvenno algebraicheskih predlozhil Ejler V svoyom Vvedenii v analiz beskonechno malyh 1748 on dal klassifikaciyu krivyh 4 go poryadka i pokazal kak opredelit radius krivizny Tam gde eto udobno on ispolzoval kosougolnye ili polyarnye koordinaty Otdelnaya glava posvyashena nealgebraicheskim krivym Vo vtoroj polovine XVIII veka analiticheskaya geometriya poluchiv moshnuyu podderzhku zrelogo analiza zavoevala novye vershiny Lagranzh Monzh odnako rassmatrivaetsya uzhe skoree kak apparat differencialnoj geometrii RazdelyOsnovnye razdely analiticheskoj geometrii soglasno knige N V Efimova Sistemy koordinat Pryamougolnaya sistema koordinat Polyarnaya sistema koordinat Preobrazovanie koordinat Elementy linejnoj algebry Linejnye operacii nad vektorami Proizvedeniya vektorov Matricy i operacii nad nimi Opredeliteli Obratnaya matrica i rang matricy Sistemy linejnyh algebraicheskih uravnenij Krivye pervogo poryadka Pryamaya na ploskosti Pryamaya i ploskost v prostranstve Krivye vtorogo poryadka Okruzhnost Konicheskoe sechenie Spiral Prostranstvennye tela Poverhnosti vtorogo poryadka Cilindr Sfera Konus SharSm takzheAlgebraicheskaya geometriya Differencialnaya geometriya Linejnaya algebra Vektornoe ischisleniePrimechaniyaPogorelov A V 1968 s 7 Stillwell John Analytic Geometry Mathematics and its History Second Edition Springer Science Business Media Inc 2004 S 105 ISBN 0 387 95336 1 the two founders of analytic geometry Fermat and Descartes were both strongly influenced by these developments angl The Calculus The History of Mathematics A Brief Course angl Wiley Interscience 1997 P 326 ISBN 0 471 18082 3 The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher Rene Descartes 1596 1650 one of the most influential thinkers of the modern era LiteraturaBortakovskij A S Panteleev A V Analiticheskaya geometriya v primerah i zadachah Ucheb posobie M Vyssh shk 2005 496 s Seriya Prikladnaya matematika Veselov A P Troickij E V Lekcii po analiticheskoj geometrii SPb Lan 2003 160 s Delone B N Rajkov D A Analiticheskaya geometriya v dvuh tomah M L Gostehizdat 1948 1949 Ilin V A Poznyak E G Analiticheskaya geometriya M FIZMATLIT 2002 240 s Istoriya matematiki pod redakciej A P Yushkevicha v tryoh tomah Istoriya matematiki S drevnejshih vremen do nachala Novogo vremeni Istoriya matematiki Pod redakciej A P Yushkevicha v tryoh tomah M Nauka 1970 T I Matematika XVII stoletiya Istoriya matematiki Pod redakciej A P Yushkevicha v tryoh tomah M Nauka 1970 T II Matematika XVIII stoletiya Istoriya matematiki Pod redakciej A P Yushkevicha v tryoh tomah M Nauka 1972 T III Kanatnikov A N Krishenko A P Analiticheskaya geometriya M Izdatelstvo MGTU im N E Baumana 2002 388 s ISBN 5 7038 1671 8 Morduhaj Boltovskoj D D Iz proshlogo analiticheskoj geometrii Trudy instituta istorii estestvoznanii Akad nauk SSSR 1952 t 4 s 217 235 Pogorelov A V Analiticheskaya geometriya 3 e izd M Nauka 1968 176 s Umnov A E Analiticheskaya geometriya i linejnaya algebra pdf 544 s ISBN 978 5 7417 0378 6 na portale avtora
