Круговое кольцо - NiNa.Az

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо.

Кольцо́ (или круговое кольцо) — понятие математики, плоская геометрическая фигура, ограниченная двумя несовпадающими концентрическими окружностями.

Кольцо

Двумерное кольцо — топологический образ замкнутого кольца, ориентируемое рода нуль с двумя компонентами края.

Открытое кольцо является топологическим эквивалентом цилиндра ${\displaystyle S^{1}\times (0,1)}$ и .

Обобщения: кольцевая область; сферический слой.

Определение кольца

Кольцо — точечное множество ${\displaystyle A}$ евклидова плоскость ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}(w)}$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических кругов с центром в точке ${\displaystyle a}$, где уменьшаемое — открытый круг, а вычитаемое — замкнутый круг:

${\displaystyle A=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R}$,

или сразу как следующее кольцо с центром в начале координат:

${\displaystyle A=\{w\in \mathbb {E} ^{2}\colon \,r<|w|<R,\,0<r<R\}}$.

В случае комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ кольцо ${\displaystyle A}$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой:

${\displaystyle A=\{z\in \mathbb {C} \colon \,r^{2}<|z|^{2}<R^{2}\}.}$

В случае вещественной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}(x,\,y)}$ кольцо ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить формулой

${\displaystyle A=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon \,r^{2}<x^{2}+y^{2}<R^{2}\},}$

причём граница этого кольца состоит из двух следующих окружностей:

${\displaystyle A_{r}=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}=r^{2}\},}$

${\displaystyle A_{R}=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}=R^{2}\}.}$

Связанные понятия

Пусть дано кольцо ${\displaystyle r<|w|<R}$. Внешняя окружность кольца — внешняя граница кольца, окружность радиуса ${\displaystyle R}$. Внутренняя окружность кольца — внутренняя граница кольца, окружность радиуса ${\displaystyle r}$. Внешний радиус кольца — радиус внешней окружности ${\displaystyle R}$. Внутренний радиус кольца — радиус внутренней окружности ${\displaystyle r}$. Внешний диаметр кольца — удвоенный внешний радиус ${\displaystyle D=2R}$. Внутренний диаметр кольца — удвоенный внутренний радиус ${\displaystyle d=2r}$. Средний радиус кольца — среднее арифметическое внешнего и внутреннего радиусов ${\displaystyle {\bar {r}}={\frac {R+r}{2}}}$. Ширина кольца — разность внешнего и внутреннего радиусов ${\displaystyle \Delta r=R-r}$.

Площадь кольца

Площадь кольца, ограниченного внешней окружностью радиуса ${\displaystyle R}$ и внутренней окружностью радиуса ${\displaystyle r}$, определяется как разность площадей кругов с внешним радиусом и внутренним радиусом:

${\displaystyle S=\pi (R^{2}-r^{2})={\frac {\pi }{4}}(D^{2}-d^{2})}$.

Площадь кольца удобно выразить через его ширину и средний радиус по следующей формуле:

${\displaystyle S=\pi (R^{2}-r^{2})=\pi (R+r)(R-r)=2\pi {\frac {R+r}{2}}(R-r)=2\pi {\bar {r}}\Delta r}$.

Вычисление площади кольца

Площадь кольца также может быть вычислена путём умножения числа пи на квадрат половины длины самого большого отрезка, лежащего внутри кольца. Это можно доказать через теорему Пифагора — такой отрезок будет являться касательной к кругу меньшего радиуса. Половина длины отрезка с радиусами r и R образуют прямоугольный треугольник. Другими словами, площадь кольца равна площади круга с диаметром, равным этому отрезку.

Случай тонкого кольца. Имеется тонкое кольцо внутренним радиусом ${\displaystyle r}$, внешним радиусом ${\displaystyle R}$ и шириной кольца ${\displaystyle \Delta r=R-r}$. Если ${\displaystyle \Delta r}$ очень мало, то есть ${\displaystyle \Delta r\ll r}$, то площадь такого тонкого кольца приближённо равна ${\displaystyle 2\pi r\Delta r}$ или ${\displaystyle 2\pi R\Delta r}$. Другими словами, площадь тонкого кольца приближённо равна произведению длины его внутренней или внешней окружности на толщину кольца.

Доказательство. Пусть ${\displaystyle R=r+\Delta r}$ (случай ${\displaystyle r=R-\Delta r}$ аналогичен) и выпишем с этой заменой величину площади тонкого кольца, получим:

${\displaystyle S=\pi ((r+\Delta r)^{2}-r^{2})=\pi (r^{2}+2r\Delta r+(\Delta r)^{2}-r^{2})=}$

${\displaystyle =\pi (2r\Delta r+(\Delta r)^{2})\approx 2\pi r\Delta r}$.

В комплексном анализе

Кольцо ${\displaystyle \mathrm {ann} (a;r,R)}$ на комплексной плоскости определяется следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {ann} (a;r,R)=\{\,z\in \mathbb {C} \mid r<|z-a|<R\,\}.}$

Кольцо является открытым множеством Если r равно 0, область называется проколотым диском радиуса R вокруг точки a.

Как подмножество комплексной плоскости кольцо может рассматриваться в качестве Римановой поверхности. Комплексная структура кольца зависит только от отношения r/R. Каждое кольцо ann(a; r, R) может быть голоморфно отображено в расположенное в начале координат стандартное кольцо с внешним радиусом 1 с помощью отображения:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.}$

Внутренний радиус тогда будет r/R < 1.

Кольцевая область

Кольцевая область

Кольцева́я о́бласть — обобщение понятия геометрического кольца, двусвязная область плоскости, заключённая между двумя замкнутыми жордановыми кривыми, не имеющими общих точек, причём одна кривая охватывает другую.

Использование понятия кольца

Ряд Лорана

Основная статья: Ряд Лорана

Круговое кольцо сходимости ряда Лорана

Ряд Лорана (или разложение Лорана) комплексной функции в кольце — понятие комплексного анализа, раздела математики, представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями.

Ряд Лорана можно понимать как обобщение некоторого ряда комплексной функции в окрестности точки ${\displaystyle z=z_{0}}$, расположенного либо только по целым неотрицательным степеням разности комплексных чисел ${\displaystyle z-z_{0}}$ (степенного ряда), либо только по целым неположительным степеням ${\displaystyle z-z_{0}}$ в следующем виде:

${\displaystyle \sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=\sum \limits _{k=0}^{+\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}+\sum \limits _{k=-1}^{-\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}=}$

${\displaystyle =c_{0}+c_{1}(z-z_{0})+c_{2}(z-z_{0})^{2}+\cdots +{\frac {c_{-1}}{z-z_{0}}}+{\frac {c_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+\cdots }$.

Ряд Лорана сходится в круговом кольце. Но множество точек сходимости ряда Лорана может быть больше открытого кольца на некоторое множество точек его границы.

Неравенство Коши для аналитической функции

Неравенства Коши. ${\displaystyle c_{k}}$ — коэффициент ряда Тейлора функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$, ${\displaystyle M}$ — максимум модуля функции на окружности с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle R}$

Основная статья: Неравенство Коши для аналитической функции

Неравенство Коши — понятие комплексного анализа, раздела математики, неравенство в фиксированной точке комплексной плоскости для модуля производной аналитической функции или для модуля коэффициента разложения этой функции в степенной ряд или в ряд Лорана.

Значение неравенств Коши, играющих существенную роль в теории функций комплексного переменного, состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции.

Теорема (неравенство Коши). Если аналитическая функция в замкнутом круге радиуса ${\displaystyle R}$ (в открытом кольце) комплексной плоскости имеет максимум ${\displaystyle M}$ своего модуля на границе круга — окружности радиуса ${\displaystyle R}$ (соответственно на любой концентрической окружности радиуса ${\displaystyle R}$ открытого кольца), то модуль любой ${\displaystyle k}$-й производной не превышает числа ${\displaystyle {\frac {Mk!}{R^{k}}}}$ в центре круга (соответственно в любой точке указанной окружности), а ${\displaystyle k}$-й коэффициент ряда Тейлора функции (соответственно ряда Лорана функции) не превышает числа ${\displaystyle {\frac {M}{R^{k}}}}$ в центре круга (соответственно в любой точке указанной окружности).

Теорема Адамара о трёх кругах

Основная статья: Теорема Адамара о трёх кругах

В комплексном анализе теорема Адамара о трёх кругах описывает поведение голоморфной функции.

Пусть ${\displaystyle f}$ аналитична в кольце ${\displaystyle r_{1}\leqslant |z|\leqslant r_{3}}$. Тогда, если определить вспомогательную функцию ${\displaystyle M(r)=\max _{|z|=r}|f(z)|}$, то при ${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r_{3}}$ будем иметь выполнение неравенства

${\displaystyle \log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leqslant \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})}$

Примечания

1. Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II, 1981, 47.8. Условия независимости…, с. 211.
3. Чернавский А. В. Двумерное кольцо, 1979.
4. Соломенцев Е. Д. Кольцевая область, 1979.
5. Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Мыльные пузыри, с. 91.
6. Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables, 2011, 1.9 Preview: analytic continuation…, p. 18.
7. Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91.
8. Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм, 2003, Пример 1.9, с. 56.
9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II, 1981, 52.3. Формула Остроградского — Гаусса…, с. 285.
10. Асламазов Л. Г., Варламов А. А. Удивительная физика, 1987, Мыльные пузыри, с. 62.
11. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 2006, § 21. Площади плоских фигур, с. 303.
12. Weisstein Eric W. Annulus, 2025.
13. Яковлев И. В. Сферический слой, 2025.
14. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009, Глава VI. Изолированные особые точки… § 3. Поведение аналитической функции в бесконечности, с. 222.
15. Титчмарш Э. Ч. Теория функций, 1980, 2.7. Ряд Лорана, с. 100.
16. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 129.
17. Соломенцев Е. Д. Лорана ряд. 2), 1982, стб. 450.
18. Лорана ряд, 1974.
19. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава четвёртая. Различные ряды…. § 2. Ряд Лорана…, с. 376—377.
20. Евграфов М. А. Аналитические функции, 1991, Глава IV. Особые точки и разложение в ряды. § 4. Вычеты и ряд Лорана, с. 152.
21. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава четвёртая. Различные ряды…. § 2. Ряд Лорана…, с. 378.
22. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 130.
23. Соломенцев Е. Д. Коши неравенство. 2), 1982.
24. Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения, 1988, § 14. Интегральная формула Коши…, с. 48—49.
25. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 20. Ряды Тейлора, с. 108.
26. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976, 24. Ряды Лорана, с. 132—133.
27. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I, 1967, Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 3. Интеграл Коши. Формулы Ю. В. Сохоцкого, с. 245—246.

Источники

• , ^[англ.]. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)
• Бохнер С., ^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ: Астрель, 2006. 991 с., ил. ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»). ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).
• Евграфов М. А. Аналитические функции. Издание третье, перераб. и доп. М.: «Наука», 1991. 448 с.: ил. ISBN 5-02-014200-X.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II. М.: «Высшая школа», 1981. 584 с.: ил.
• Лорана ряд // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1974. Т. 15. Ломбард — Мезитол. 1974. 632 с. с илл., 27 л. илл., 2 л. карт, 1 карта-вкладка. С. 23.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: «Наука», 1967. 486 с.: ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Соломенцев Е. Д. Комплексное число // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 967.
• Соломенцев Е. Д. Коши неравенство // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 59.
• Соломенцев Е. Д. Лорана ряд // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 450—451.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: «Высшая школа», 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
• Титчмарш Э. Ч. Теория функций: Пер. с англ. 2-е изд. перераб. В. А. Рохлина. М.: «Наука», 1980. 463 с. [Titchmarsh E. C. The theory of functions. Second Edition. Лондон: Oxford University Press, 1939.]
• Чернавский А. В. Двумерное кольцо // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 51.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 320 с.: ил.
• Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. Ун-т, 2003. 267 с.: ил.
• Яковлев И. В. Сферический слой // Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике Архивная копия от 5 июля 2024 на Wayback Machine
• ^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
• Weisstein Eric W. Annulus // Wolfram MathWorld Архивная копия от 8 марта 2025 на Wayback Machine

Ссылки

• Площадь кольца, формула, интерактивная анимация (англ.)