Десятичный логарифм - NiNa.Az

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа ${\displaystyle b}$ есть решение уравнения ${\displaystyle 10^{x}=b.}$

График десятичного логарифма

Вещественный десятичный логарифм числа ${\displaystyle b}$ существует, если ${\displaystyle b>0}$ (комплексный десятичный логарифм существует для всех ${\displaystyle b\neq 0}$). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его ${\displaystyle \lg \,b}$. Примеры:

${\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}$

${\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}$

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: ${\displaystyle \operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10} }$, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны:

	Формула	Пример
Произведение	${\displaystyle \lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)}$	${\displaystyle \lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4}$
Частное от деления	${\displaystyle \lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$
Степень	${\displaystyle \lg(x^{p})=p\lg(x)}$	${\displaystyle \lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7}$
Корень	${\displaystyle \lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}}$	${\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

${\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}$

${\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

${\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}$

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел ${\displaystyle x,y}$ с помощью логарифмических таблиц➤ производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел ${\displaystyle x,y}$.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения ${\displaystyle x\cdot y}$.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов:

${\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}$

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

${\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}$

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

${\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}$

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: ${\displaystyle y=\lg \,x.}$ Она определена при всех ${\displaystyle x>0.}$ Область значений: ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}$. График этой кривой часто называется логарифмикой.

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}$

Ось ординат ${\displaystyle (x=0)}$ является вертикальной асимптотой, поскольку:

${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }$

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа ${\displaystyle x}$ (характеристику логарифма) ${\displaystyle [\lg x]}$ легко определить.

• Если ${\displaystyle x\geqslant 1}$, то ${\displaystyle [\lg x]}$ на 1 меньше числа цифр в целой части числа ${\displaystyle x}$. Например, сразу очевидно, что ${\displaystyle \lg 345}$ находится в промежутке ${\displaystyle (2,3)}$.
• Если ${\displaystyle 0<x<1}$, то ближайшее к ${\displaystyle \lg x}$ целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в ${\displaystyle x}$ перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, ${\displaystyle \lg 0{,}0014}$ находится в интервале ${\displaystyle (-3,-2)}$.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на ${\displaystyle n}$ разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на ${\displaystyle n.}$ Например:

${\displaystyle \lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3}$

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle 10}$. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10^C

Число	Логарифм	Характеристика	Мантисса	Запись
n	lg(n)	C	M = lg(n) − C
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел ${\displaystyle n}$ одна и та же мантисса ${\displaystyle M}$, поскольку:

${\displaystyle \lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x)+C}$,

где ${\displaystyle 1<x<10}$ — значащая часть числа ${\displaystyle n}$.

Десятичная логарифмическая шкала на логарифмической линейке

История

Основная статья: История логарифмов

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Ссылки

• Десятичные (бригсовы) логарифмы. (англ.)

Примечания

1. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
3. Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. Архивировано 16 октября 2013 года.
4. Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
6. История математики, том II, 1970, с. 62..
7. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
8. Логарифмические таблицы // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.