Индикатриса Дюпена - NiNa.Az

Индикатриса Дюпена или индикатриса кривизны — плоская кривая, которая даёт наглядное представление об искривленности поверхности в данной её точке.

Определение и свойства

Индикатриса Дюпена лежит в плоскости, касательной к поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle p}$, и является совокупностью концов отрезков, отложенных от точки ${\displaystyle p}$ в направлении ${\displaystyle u}$ в касательной плоскости и имеющих длину, равную ${\displaystyle 1/{\sqrt {\kappa _{u}}}}$, где ${\displaystyle \kappa _{u}}$ — абсолютная величина нормальной кривизны поверхности ${\displaystyle S}$ в точке ${\displaystyle p}$ в направлении ${\displaystyle u}$. Уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид

${\displaystyle |II_{p}(v)|=1,}$

где ${\displaystyle v}$ — вектор касательной плоскости, a ${\displaystyle II_{p}}$ — вторая фундаментальная форма поверхности ${\displaystyle S}$, в точке ${\displaystyle p}$.

Индикатриса Дюпена представляет собой:

• эллипс, если ${\displaystyle p}$ — эллиптическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна положительна.
  • В частности, окружность, если ${\displaystyle p}$ — точка округления;
• пару сопряженных гипербол, если ${\displaystyle p}$ — гиперболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна отрицательна;
• пару параллельных прямых, если ${\displaystyle p}$ — параболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна равна нулю, но средняя кривизна не равна нулю.

История

Индикатриса Дюпена названа по имени Дюпена, впервые применившего эту кривую к исследованию поверхностей (1813).

См. также

• Асимптотическая кривая

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.