Асимптотическая кривая - NiNa.Az

Асимптотическая кривая (асимптотическая линия) — кривая ${\displaystyle \gamma =\gamma (t)}$ на гладкой регулярной поверхности ${\displaystyle F}$ в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности ${\displaystyle F}$, т. е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

${\displaystyle \mathrm {I\!I} _{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))=0,}$

где ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$ — вторая фундаментальная форма поверхности ${\displaystyle F}$.

Три типа точек поверхности

Точки, в которых гауссова кривизна ${\displaystyle K<0}$, называются гиперболическими (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна ${\displaystyle K>0}$, называются эллиптическими (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна ${\displaystyle K=0}$, но средняя кривизна ${\displaystyle K\neq 0}$, называются параболическими (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую асимптотическую сеть: через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа точки возврата (касп) и представляют собой полукубические параболы, лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

Свойства

• Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой ${\displaystyle \gamma }$ (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к ${\displaystyle F}$ в той же точке.
• (Теорема Бельтрами — Эннепера) Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности ${\displaystyle F}$.
• Прямолинейный отрезок на поверхности ${\displaystyle F}$ всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
• На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над ${\displaystyle 2\pi }$ (формула Хаццидакиса).
• На минимальной поверхности асимптотическая сеть является .
• При проективном преобразовании ${\displaystyle \pi }$ пространства асимптотические кривые поверхности ${\displaystyle F}$ переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности ${\displaystyle \pi (F)}$.

Уравнение для графика функции

Пусть в евклидовом пространстве с координатами ${\displaystyle x,y,z}$ и метрикой ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$ поверхность задана в виде графика функции ${\displaystyle z=f(x,y)}$. Тогда в координатах ${\displaystyle x,y}$ асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением ${\displaystyle f_{yy}\,dy^{2}+2f_{xy}\,dx\,dy+f_{xx}\,dx^{2}=0.}$ Введя обозначение ${\displaystyle p=dy/dx}$, его можно переписать в виде ${\displaystyle f_{yy}p^{2}+2f_{xy}p+f_{xx}=0.}$ Дискриминант ${\displaystyle \Delta =f_{xy}^{2}-f_{xx}f_{yy}}$ стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной ${\displaystyle p}$) совпадает с гессианом функции ${\displaystyle f(x,y)}$, взятым с обратным знаком, и уравнение ${\displaystyle \Delta =0}$ задаёт на плоскости ${\displaystyle (x,y)}$ кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов ${\displaystyle f_{xx}}$ или ${\displaystyle f_{yy}}$ отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет нормальную форму Чибрарио, исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента ${\displaystyle f_{xx}}$, ${\displaystyle f_{xy}}$, ${\displaystyle f_{yy}}$ обращаются в нуль одновременно, — это так называемые плоские омбилики, в которых ${\displaystyle H=K=0}$, т. е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

Примеры

• Все точки однополостного гиперболоида ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$ относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид ${\displaystyle (x^{2}-1)p^{2}-2xyp+y^{2}-1=0}$, где ${\displaystyle p=dy/dx}$. Как легко проверить, общее решение этого уравнения задаётся формулой ${\displaystyle y=ax+b}$, где параметры ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ подчинены соотношению ${\displaystyle b^{2}-a^{2}=1}$. Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам ${\displaystyle \pm }$ в формуле ${\displaystyle b=\pm {\sqrt {a^{2}+1}}}$) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.
• Асимтотические линии конуса ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$ также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.
• В случае поверхности, заданной уравнением ${\displaystyle z=y^{2}+x^{2}y+ax^{4}}$ имеем ${\displaystyle \Delta =(1-6a)x^{2}-y}$. Линия параболических точек (${\displaystyle y=(1-6a)x^{2}}$) делит поверхность на эллиптическую (${\displaystyle y>(1-6a)x^{2}}$) и гиперболическую (${\displaystyle y<(1-6a)x^{2}}$) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат (${\displaystyle x=y=0}$) уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра ${\displaystyle a}$, см. статью.
• Асимптотическими кривыми на торе, заданном параметрически в виде $${\displaystyle {\begin{cases}x(\phi ,\psi )=(R+r\cos \phi )\cos \psi ,\\y(\phi ,\psi )=(R+r\cos \phi )\sin \psi ,\\z(\phi ,\psi )=r\sin \phi ,\end{cases}}\qquad \phi ,\psi \in [0,2\pi ),}$$ являются два параллели ${\displaystyle z=\pm r}$, разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек, и бесконечное число кривых специального вида, осциллирующих между этими двумя параллелями.
• Асимптотической кривой является ребро возврата на псевдосфере.

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.
• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.