Параметрический осциллятор - NiNa.Az

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например, собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β, приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора -- это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении, или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике примером параметрического осциллятора может служить используемый во многих областях параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода с помощью специальной схемы, называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике волновод / на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Математика

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса ${\displaystyle m}$, коэффициент упругости ${\displaystyle k}$ и коэффициент затухания ${\displaystyle \beta }$. Если эти коэффициенты зависят от времени, и ${\displaystyle m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)}$, то уравнение движения имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})+\beta {\dot {x}}+kx=0,}$

${\displaystyle (1)}$

Сделаем замену переменной времени ${\displaystyle t}$ →${\displaystyle \tau }$, где ${\displaystyle d\tau =dt/m(t)}$, что приводит уравнение (1) к виду

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,}$

${\displaystyle (2)}$

Сделаем еще одну замену ${\displaystyle x(\tau )}$ → ${\displaystyle q(\tau )}$:

${\displaystyle q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\tau }\beta (\xi )d\xi ,}$

${\displaystyle (3)}$

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )=km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},}$

${\displaystyle (4)}$

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,}$

${\displaystyle (5)}$

которое получилось бы из уравнения (1) при ${\displaystyle m=const}$.

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты ${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}}$, аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости ${\displaystyle \omega (t)}$ уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости ${\displaystyle \omega (t)}$ — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

---

1. Рассмотрим случай, когда ${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]}$, то есть уравнение (5) имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,}$

${\displaystyle (6)}$

Где ${\displaystyle \omega _{0}}$ — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты ${\displaystyle h\ll 1}$, постоянная ${\displaystyle \varepsilon \ll \omega _{0}}$ — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что ${\displaystyle h>0}$. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра ${\displaystyle \varepsilon }$, происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение ${\displaystyle x(t)}$ неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

${\displaystyle -{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},}$

${\displaystyle (7)}$

2. Рассмотрим случай, когда ${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]}$ , то есть уравнение (5) имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,}$

${\displaystyle (8)}$

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой ${\displaystyle y=2\omega _{0}+\varepsilon }$. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов ${\displaystyle h^{2}}$, происходит в случае, когда

${\displaystyle -{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac {1}{32}}h+{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle (9)}$

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

${\displaystyle {\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]\phi =0,}$

${\displaystyle (10)}$

где ${\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}}$, и ${\displaystyle h={\frac {4a}{l}}}$. В случае, когда ${\displaystyle a\ll l}$ и ограничиваясь первым порядком разложения по ${\displaystyle h}$, получим, что

${\displaystyle -{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}},}$

${\displaystyle (11)}$

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний ${\displaystyle \omega =\omega _{0}}$ и её удвоенного значения ${\displaystyle \omega =2\omega _{0}}$, — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,}$

${\displaystyle (12)}$

Параметрический резонанс имеет место, когда

${\displaystyle \omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,}$

${\displaystyle (13)}$

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника ${\displaystyle \omega _{0}}$, а ширина резонанса равна ${\displaystyle h\omega _{0}}$. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,}$

${\displaystyle (14)}$

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых ${\displaystyle h\ll 1}$, а лишь при тех ${\displaystyle h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$. Т.о., при наличии трения

${\displaystyle {\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,}$,

${\displaystyle (15)}$

что позволяет надлежащим выбором параметров ${\displaystyle \gamma }$,${\displaystyle \omega _{0}}$, и ${\displaystyle h}$, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

Ссылки

1. Пример параметрической неустойчивости [1]

1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

Литература

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.