Седловая точка

Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. Является точкой равновесия в . В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями.

Седловая точка на карте высот (центр «восьмерки» образованной изолиниями)

Седловая точка в математическом анализе

Проверить, является ли данная стационарная точка функции F(x,y) двух переменных седловой, можно, вычислив матрицу Гессе функции в этой точке: если гессиан будет неопределенной квадратичной формой, то данная точка — седловая. Например, составив матрицу Гессе функции $z=x^{2}-y^{2}$ в стационарной точке $(0,0)$ получим матрицу:

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}

которая является неопределенной. Поэтому, точка $(0,0)$ данной функции — седловая. Однако вышеприведенный критерий предоставляет только достаточное условие наличия седловой точки. Например, $(0,0)$ является седловой точкой функции $z=x^{4}-y^{4}$ , но матрица Гессе в данном случае будет нулевой матрицей, которую, по определению, нельзя назвать неопределенной.

В общем случае, седловой точкой гладкой функции (график которой изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая/поверхность/гиперповерхность не лежит полностью по одну сторону касательного пространства в данной точке.

В случае функции одной переменной, седловая точка — такая точка, которая одновременно является и стационарной точкой, и точкой перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом).

См. также

Критическая точка (математика)
Метод перевала
Экстремум
Особая точка (дифференциальные уравнения)
Матрица (математика)

Литература

Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, p. 375, ISBN 0-387-97388-5
Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. — URSS, Пер. с нем., Изд.5, 2010. 344
von Petersdorff, Tobias (2006), Critical Points of Autonomous Systems, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), Архивировано из оригинала 3 января 2007, Дата обращения: 12 ноября 2009 Архивная копия от 3 января 2007 на Wayback Machine
Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York: Dover Publications, p. 128, ISBN 0-486-66103-2

Седловая точка